Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	1	4	4	4	4	1	2	3	3	3	6	3	3	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

{}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Apfelverkäufer verkauft ${}2893$ Äpfel für ${}3127$ Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft ${}3417$ Äpfel für ${}3693$ Euro. Welches Angebot ist günstiger?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A={\left(a_{ij}\right)}$ und ${}B={\left(b_{ij}\right)}$ quadratische Matrizen der Länge ${}n$ . Es gelte ${}a_{ij}=0$ für ${}j\leq i+d$ und ${}b_{ij}=0$ für ${}j\leq i+e$ für gewisse ${}d,e\in \mathbb {Z}$ . Zeige, dass die Einträge ${}c_{ij}$ des Produktes ${}AB$ die Bedingung ${}c_{ij}=0$ für ${}j\leq i+d+e+1$ erfüllen.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Erläutere, warum das Achsenkreuz im ${}\mathbb {R} ^{2}$ kein Untervektorraum ist

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}4&1&0&5\\2&7&5&3\\-2&7&-6&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume. Zeige, dass ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

{\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Determinante zur Matrix

{\begin{pmatrix}13&1&-1&-8&6\\3&-2&8&1&4\\5&9&7&3&5\\6&-4&16&2&8\\7&-10&11&6&9\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne für die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\sigma (x)$	${}4$	${}7$	${}2$	${}5$	${}3$	${}8$	${}6$	${}1$

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}a\in K$ . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$ ).

${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$ .
${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$ .
${}1(a)=1$ .

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1085$ und ${}806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$ . Zeige, dass

{}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,

ist.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}T&T-1\\T+1&{\frac {1}{T}}\end{pmatrix}}\,

über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (T)$ .

Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$ .
Bestimme, ob ${}M$ Eigenwerte besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich ${}c$ seien. Zeige, dass ${}M$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.