Kurs:Lineare Algebra/Teil I/26/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	5	1	4	2	3	7	3	3	1	4	3	3	3	5	1	2	6	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}2x\geq 7\,$

und

${}5x\leq 12\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}5x&+2y&+z&-7w&=&3\\6x&+y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&0\\3x&+5y&-7z&+14w&=&1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume ${}U,V\subseteq \operatorname {Mat} _{3}(K)$, die durch

${}U={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{31}=0\right\}}\,$

bzw.

${}V={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{21}=0{\text{ und }}a_{31}=0\right\}}\,$

gegeben sind.

1. Ist ${}U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
2. Ist ${}V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart gibt, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit ${}5$ Elementen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare Abbildung. Es seien ${}u,v,w,z\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}-4u+5w\\7v-3z\\-6w-9z\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Determinante zur Matrix

${\begin{pmatrix}0&7&4&11&8\\0&0&3&7&6\\0&0&0&1&5\\0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}2z&0&-z+1\\1&1&3\\z&2&-z\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$	${}10$
${}\sigma (x)$	${}4$	${}10$	${}1$	${}8$	${}7$	${}2$	${}9$	${}6$	${}5$	${}3$

1. Berechne ${}\sigma ^{2}$.
2. Bestimme die Zykelzerlegung von ${}\sigma$.
3. Berechne das Vorzeichen von ${}\sigma$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die ${}x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

${}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,$

und

${}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen besitzen.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass ${}U$ zu jedem ${}\lambda \in K$ invariant bezüglich ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ist die Menge der nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen ein Untervektorraum des Matrizenraums ${}\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$?

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ der Ausdruck

${\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2\\7\\6\end{pmatrix}}+{\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}9\\0\\9\end{pmatrix}}+{\frac {3}{13}}{\begin{pmatrix}5\\5\\2\end{pmatrix}}$

eine baryzentrische Kombination ist.