Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	12	3	3	5	5	6	5	4	6	3	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe * (12 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke die Vektoren ${}u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ der Dualbasis zur Basis ${}u_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ aus.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei eine ${}n\times n$- Matrix ${}M$ über ${}K$ gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom ${}P\in K[X]$ mit dem Minimalpolynom zu ${}M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über ${}L$ auffasst.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass ${}M$ nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer ${}3\times 3$- Matrix ${}M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen

${\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$

über ${}K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen ${}x,y,z,w$.

b) Sind die Gleichungen linear?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}4&0&1\\0&4&-1\\0&0&4\end{pmatrix}}\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

a) Bestimme die jordansche Normalform von ${}M$.

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von ${}M$ in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

${}{\begin{pmatrix}4&0&1\\0&4&-1\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

welche nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-3&-6&-1\\0&-3&-2\\0&0&-3\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-3&1&0\\0&-3&1\\0&0&-3\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine Basis von ${}V$ bildet, wenn die Familie ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine affine Basis bildet.