Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 5 | 4 | 4 | 1 | 4 | 6 | 5 | 11 | 3 | 5 | 2 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
für und beliebige Elemente in einem Körper .
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die reellen Zahlen als - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume in einem Vektorraum derart, dass ist, dass für ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix
nicht invertierbar ist.
Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung
Aufgabe * (11 (3+3+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und seien
Elemente, die nicht alle gleich seien. Wir betrachten die - Matrix
wobei die Einträge durch
gegeben sind.
a) Bestimme den Rang der Matrix .
b) Zeige, dass der Vektor ein Eigenvektor zu ist und bestimme den zugehörigen Eigenwert.
c) Zeige, dass bei diagonalisierbar ist.
d) Zeige, dass bei
nicht diagonalisierbar sein muss.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe eine Matrix der Ordnung an.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine nilpotente - Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne eine Fahne in bilden.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und affine Räume über mit Punkten und . Zeige, dass im Produktraum die baryzentrische Beziehung
gilt.