Kurs:Lineare Algebra/Teil II/18/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	3	1	0	2	0	0	4	3	5	5	0	0	2	3	40

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum ${}V$ über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Eine lineare Isometrie zwischen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ mit Skalarprodukt.
3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

4. Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

6. Das Tensorprodukt zu einer Familie von ${}K$- Vektorräumen ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$.

Lösung

1. Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

   ${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

   den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

   ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

3. Man nennt einen Endomorphismus

   $\psi \colon V\longrightarrow V$

   adjungiert zu ${}\varphi$, wenn

   ${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$ gilt.

4. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.
   1. ${}e\in H$.
   2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
   3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.
5. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

   ${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

   gilt.

6. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte ${}K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
   1. ${}re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
   2. ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,

   erzeugte ${}K$-Untervektorraum von ${}F$. Dann nennt man den Restklassenraum ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

   $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$

   bezeichnet.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
2. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.

Lösung

1. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung und ${}M$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn

   ${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

   ist.
2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ ist die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und die Eigenwerte mit Betrag ${}1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
   5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

      mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(\lambda )$ mit ${}\vert {\lambda }\vert =1$.

3. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich

   ${}\operatorname {dim} _{}\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V_{1}\right)\cdots \operatorname {dim} _{}\left(V_{n}\right)\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum durch

${}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Lösung

1. Es ist ${}d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}u-v=0$, also ${}u=v$ ist.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$

3. Für beliebiges ${}w\in V$ ist nach der Definition einer Norm

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ der Kreis in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und dem Radius ${}1$. Es sei ${}P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ ein Punkt außerhalb des Kreises. Bestimme den Abstand zwischen ${}K$ und ${}P$, und in welchem Kreispunkt er angenommen wird.

Lösung

Wir behaupten, dass der Abstand im Punkt ${}Q={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ angenommen wird. Aufgrund der Normierung handelt es sich um einen Punkt von ${}K$. Es sei ${}R$ ein weiterer Punkt des Einheitskreises. Die Punkte ${}0,Q,P$ liegen auf einer Geraden, und da ${}P$ außerhalb des Kreises liegt, ist

${}d(0,P)=d(0,Q)+d(Q,P)\,.$

Aufgrund der Dreiecksungleichung ist

${}d(0,R)+d(R,P)\geq d(0,P)\,,$

und hierbei gilt sogar ${}>$, wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen (siehe Aufgabe *****). Somit ist für ${}R\neq Q$

${}d(R,P)>d(Q,P)\,$

(wenn ${}R=-Q$ der gegenüberliegende Punkt ist, so ist der Abstand erst recht größer).

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.

Lösung

Es sei

${}u={\overrightarrow {CB}}\,$

und

${}v={\overrightarrow {CA}}\,.$

Dann ist

${}w={\overrightarrow {AB}}=u-v\,.$

Die Längen dieser Vektoren sind ${}a,b,c$. Somit gilt

${}{\begin{aligned}c^{2}&=\Vert {u-v}\Vert ^{2}\\&=\left\langle u-v,u-v\right\rangle \\&=\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle -2\left\langle u,v\right\rangle \\&=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}-2\Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \cos \gamma \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien ${}v,w$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,.$

Lösung

Wir können annehmen, dass ${}v=e_{4}$ und

${}w=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}+de_{4}\,$

mit

${}a^{2}+b^{2}+c^{2}-d^{2}=-1\,$

ist. Wegen der Gleichgerichtetheit ist ${}d>0$. Somit ist

${}\left\langle e_{4},w\right\rangle =\left\langle e_{4},ae_{1}+be_{2}+ce_{3}+de_{4}\right\rangle =-d<0\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass es sich dabei um einen inneren Automorphismus handelt.

Lösung

Die inverse Matrix zu ${}{\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}$ ist ${}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}$. Mit dieser Matrix ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}4x+7z&4y+7w\\x+2z&y+2w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x+14z-4y-7w&-28x-49z+16y+28w\\2x+4z-y-2w&-7x-14z+4y+8w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

somit handelt es sich um eine Konjugation mit einer invertierbaren Matrix.

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}45$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Lösung

Wir schreiben die Drehungen als Teildrehungen einer Volldrehung, also

${\frac {45}{360}}={\frac {1}{8}},\,{\frac {99}{360}}={\frac {11}{40}},\,{\frac {1}{12}}.$

Mit dem Hauptnenner ${}120$ sind dies die Drehungen

${\frac {15}{120}},\,{\frac {33}{120}},\,{\frac {10}{120}}.$

Jede dieser Drehungen ist ein Vielfaches der ${}{\frac {1}{120}}$-Drehung. Andererseits sind die Zahlen ${}15,33$ und ${}10$ teilerfremd, so dass es eine Darstellung der ${}1$ gibt. Daher ist die von den drei Drehungen erzeugte Untergruppe genau die von der ${}{\frac {1}{120}}$-Drehung erzeugte Untergruppe und enthält daher ${}120$ Elemente.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Diedergruppen ${}D_{n}$, ${}n\geq 3$, nicht kommutativ sind.

Lösung

Wir realisieren die Diedergruppe ${}D_{n}$ als Symmetriegruppe einer Doppelpyramide über einem regelmäßigen ${}n$-Eck in der ${}x-y$-Ebene, wobei ${}(1,0,0)$ ein Eckpunkt sei. Die Drehungen des ${}n$-Ecks sind.

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

mit

${}\alpha ={\frac {k2\pi }{n}}\,$

für

${}k=0,1,2,\ldots ,n-1\,$

und die Halbdrehung um die ${}x$-Achse, die durch

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

beschrieben wird, gehört auch zur Gruppe. Es ist

${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,.$

Die Produkte stimmen genau dann überein, wenn

${}\sin \alpha =-\sin \alpha \,$

ist, was

${}\sin \alpha =0\,,$

also

${}\alpha =0,\pi \,$

bedeutet. Bei ${}n\geq 3$ ist aber nicht jeder Drehwinkel von dieser Form.

Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen ${}X$ über ${}K$ und ${}Q=K(X)$ der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf ${}Q$ definieren wir die Relation

${}f\sim g\,,$

wenn es Polynome ${}R$ und ${}S$ vom gleichen Grad ${}\geq 1$ mit

${}g={\frac {R}{S}}f\,$

gibt.

1. Zeige, dass durch ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${}0$.
3. Es seien ${}A,B,C,D\in K[X]$ Polynome ${}\neq 0$. Zeige, dass

   ${}{\frac {A}{B}}\sim {\frac {C}{D}}\,$

   genau dann gilt, wenn

   ${}\operatorname {grad} \,(A)-\operatorname {grad} \,(B)=\operatorname {grad} \,(C)-\operatorname {grad} \,(D)\,.$

4. Zeige, dass jedes ${}f\in Q$, ${}f\neq 0$, einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form ${}X^{n}$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ besitzt.

Lösung Polynomring/Quotientenkörper/Multiplikation mit Zähler durch Nenner von gleichem Grad/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle die Adjazenzmatrix und die stochastische Matrix zum angegebenen gerichteten Graphen, wobei es für jeden Punkt auch einen Pfeil auf sich selbst gebe.

Lösung

Die Adjazenzmatrix zum Graphen ist

${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&0&1&0&0\\1&1&1&1&0\\1&0&1&1&1\end{pmatrix}}$

und die spaltenstochastisch gemachte Adjazenzmatrix

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&0&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{3}}&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass die ${}L$-lineare Abbildung

$\varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}$

bezüglich der ${}L$-Basen ${}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von ${}V_{L}$ und ${}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von ${}W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird.

Lösung

Wegen Fakt ***** liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement ${}v_{j}$ von ${}V$ wird unter ${}\varphi$ auf

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\,$

abgebildet. Somit wird das Basiselement ${}1\otimes v_{j}$ von ${}V_{L}$ unter ${}\varphi _{L}$ auf

${}\varphi (1\otimes v_{j})=1\otimes \varphi (v_{j})=1\otimes {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\left(1\otimes w_{i}\right)}\,.$

Die Koeffizienten ${}a_{ij}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von ${}\varphi _{L}$.