Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	3	0	2	8	2	0	3	6	3	0	3	3	43

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

3. Eine hermitesche Matrix.
4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

6. Den durch Körperwechsel ${}K\subseteq L$ aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Satz über den Abstand eines Vektors ${}v$ zu einem Untervektorraum ${}U$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$.
3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse ${}E$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}\varphi (E)=E$, die keine Isometrie ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe * (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien ${}U$ und ${}V$ endlichdimensionale ${}\mathbb {R}$- Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen ${}\Psi _{U}$ und ${}\Psi _{V}$.

1. Zeige, dass auf ${}U\oplus V$ durch

   ${}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\,$

   eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei ${}U$ und ${}V$ orthogonal zueinander sind.

2. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{U}$ bezüglich einer Basis von ${}U$ und ${}H$ die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{V}$ bezüglich einer Basis von ${}V$. Zeige, dass die Blockmatrix aus ${}G$ und ${}H$ die Gramsche Matrix von ${}\Theta$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
3. Der Typ der Bilinearformen sei ${}(p,q)$ bzw. ${}(p',q')$. Zeige, dass der Typ von ${}\Theta$ gleich ${}(p+p',q+q')$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}{\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$ eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element, und seien ${}m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${}g^{0}=e_{G}$.
2. Es ist ${}g^{m+n}=g^{m}g^{n}$.

Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${}A$ und ${}G$, die den Eckpunkt ${}B$ auf ${}D$ schickt, und es sei ${}\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}E,F,G,H$ läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch ${}\alpha ,\beta ,\alpha \beta$ und ${}\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${}\alpha \beta$ und von ${}\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${}\alpha ^{2}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${}\alpha ^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation ${}\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\sigma (x)$	${}B$	${}C$	${}D$	${}A$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${}\sigma$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum ${}\operatorname {Hom} _{}{\left(V,W\right)}$ in der Tat eine Norm ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ${}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}$ ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und es seien

$U_{1,1}\subset U_{1,2}\subset \ldots \subset U_{1,\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}}\subset V_{1},\ldots ,U_{n,1}\subset U_{n,2}\subset \ldots \subset U_{n,\dim _{K}{\left(V_{n}\right)}}\subset V_{n}$

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in ${}V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

$U_{1,j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}U_{n,j_{n}}$

haben.