Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 4 | 3 | 0 | 2 | 8 | 2 | 0 | 3 | 6 | 3 | 0 | 3 | 3 | 43 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
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Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse im und eine bijektive lineare Abbildung mit , die keine Isometrie ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Kosinussatz.
Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum und es seien
und
antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung linear ist.
Aufgabe * (8 (4+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen und .
- Zeige, dass auf durch
eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei und orthogonal zueinander sind.
- Es sei die Gramsche Matrix von bezüglich einer Basis von und die Gramsche Matrix von bezüglich einer Basis von . Zeige, dass die Blockmatrix aus und die Gramsche Matrix von bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
- Der Typ der Bilinearformen sei bzw. . Zeige, dass der Typ von gleich ist.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.
Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.
- Es ist .
- Es ist .
Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte den Würfel
Es sei diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte
und ,
die den Eckpunkt auf schickt, und es sei die Halbdrehung um die vertikale Achse
(also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche und den Mittelpunkt der Seitenfläche läuft).
a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge , die durch und bewirkt werden.
b) Bestimme die Drehachse von und von sowie die Ordnung dieser Drehungen.
c) Man gebe die Zykeldarstellung der von bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ?
d) Man betrachte die Permutation , die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle
gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale normierte - Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum in der Tat eine Norm ist.
Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen
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Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und es seien
Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt
haben.