Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}4-7{\mathrm {i} }\\3+5{\mathrm {i} }\\-1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-6+4{\mathrm {i} }\\-2-8{\mathrm {i} }\\1-9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

im ${}{\mathbb {C} }^{3}$.

Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}}$

im ${}K^{3}$, wobei ${}K$ den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.

Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}4\\6\\1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}$

im ${}K^{3}$, wobei ${}K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem ${}K^{3}$ bilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Zeige, dass für das Kreuzprodukt für Vektoren ${}x,y,z\in K^{3}$ die Beziehung

${}x\times (y\times z)+y\times (z\times x)+z\times (x\times y)=0\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}u_{1},u_{2},u_{3}$ eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Zeige ${}u_{1}\times u_{2}=\pm u_{3}$.

Aufgabe

Zeige, dass über einem beliebigen Körper ${}K$ zu linear unabhängigen Vektoren ${}u={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$ das Kreuzprodukt ${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$ zusammen mit ${}u$ und ${}v$ keine Basis des ${}K^{3}$ bilden müssen.

Aufgabe

Bestimme die Isometrien von ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe

Welche Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{2}$ kennen Sie aus der Schule?

Aufgabe

Es seien ${}U,V$ ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume mit Skalarprodukt und ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ eine Isometrie. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe

Es seien ${}U,V,W$ ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume mit Skalarprodukt. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ${}V\rightarrow V$ ist eine Isometrie.
2. Wenn ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ eine Isometrie.
3. Wenn ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ und ${}\psi \colon V\rightarrow W$ Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi$ eine Isometrie.

Aufgabe

Bestimme die Isometrien von ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U$

ebenfalls eine Isometrie ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ genau dann eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

eine Isometrie zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}V$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, die unter ${}\varphi$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter ${}\varphi$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von ${}\varphi$ gleich ${}1$ oder ${}-1$ ist. Ferner besitze ${}\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass ${}\varphi$ eine Isometrie ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle ${}u,v\in V$ die Beziehung

$\left\langle u,v\right\rangle =0{\text{ genau dann, wenn }}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle =0$

gilt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

derart, dass ${}\varphi$ flächentreu, aber keine Isometrie ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Ordnung ${}2$ ist und die keine Isometrie ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$, Zeige, dass die Menge ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei ${}n\geq 2$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor ${}v$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.
3. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, ist auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, derart, dass auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}4\\6\\2\end{pmatrix}}$

im ${}K^{3}$, wobei ${}K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf ${}V$ eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann ${}f$ sogar diagonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ komplexe Vektorräume mit Skalarprodukten und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn ${}\varphi$ eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.