Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 44

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge ${}H\subseteq G$ einer Gruppe ${}G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

${\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.$

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element, und seien ${}m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${}g^{0}=e_{G}$.
2. Es ist ${}g^{m+n}=g^{m}g^{n}$.

Aufgabe *

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Aufgabe

Berechne die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}2&4&1\\3&2&0\\0&1&3\end{pmatrix}}$

über dem Körper ${}{\mathbb {F} }_{5}$.

Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei ${}G\subseteq \mathbb {Q}$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ zyklisch ist.

Aufgabe

Beweise Lemma 44.7.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto -x,$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ist die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto P(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ${}Q\in \mathbb {R} [X]$ ist allenfalls ${}0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

$(\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot ),\,x\longmapsto Q(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },$

die einer Permutation ${}\pi$ auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ ihre Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ zuordnet, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}h\in R$. Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und betrachte auf

${}\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,$

die Verknüpfung

${}a+b:=(a+b)\mod n={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<n\,,\\a+b-n,{\text{ falls }}a+b\geq n\,.\end{cases}}\,$

Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Wir betrachten

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$

mit der in Aufgabe 44.15 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,$

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die Ordnungen sämtlicher Elemente in der Gruppe ${}\mathbb {Z} /(100)$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}h\in G$. Zeige, dass die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto hgh^{-1},$

eine Gruppenautomorphismus ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass es sich dabei um einen inneren Automorphismus handelt.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c,d$ reelle Zahlen mit ${}ad-bc=1$. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}adx-acy+bdz-bcw&-abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw&-bcx+acy-bdz+adw\end{pmatrix}}$

ein innerer Automorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien ${}\operatorname {Perm} \,(T)$ und ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf ${}M$, siehe Aufgabe 3.10). Zeige, dass durch

$\Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},$

mit

${}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow G,\,h\longmapsto hg,$

die Multiplikation mit ${}g$. Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist, und dass ${}\varphi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ${}g=e_{G}$ ist.

Aufgabe

Gibt es Gruppenhomomorphismen

$(\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+,0),$

die nicht ${}\mathbb {R}$-linear sind?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

$G_{1}\times \cdots \times G_{n}.$

b) Es sei ${}H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),$

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten ${}\varphi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ordnungen sämtlicher Elemente in der Gruppe ${}\mathbb {Z} /(12)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$.

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 3.8 an. Zu einer reellen Zahl ${}x$ bezeichnet ${}\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${}x$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

mit der in Aufgabe 3.7 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 3.8 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow M,\,q\longmapsto q-\lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ den Kern des Potenzierens

$\mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.$

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann irrational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.