Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.

Zeige, dass bei einer Folge die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert, und dass bei Reihen die Änderung von endlich vielen Reihengliedern zwar die Konvergenz nicht ändert, wohl aber die Summe.

Aufgabe

Es seien

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen ${}s$ und ${}t$ . Beweise die folgenden Aussagen.

Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit ${}c_{k}=a_{k}+b_{k}$ ist ebenfalls konvergent mit der Summe ${}s+t$ .
Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ ist auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ mit ${}d_{k}=\lambda a_{k}$ konvergent mit der Summe ${}\lambda s$ .

Aufgabe

Zeige, dass die beiden Reihen

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+2}}

divergieren.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}

konvergiert mit der Summe ${}1$ .

Aufgabe *

Es sei ${}z$ eine komplexe Zahl, ${}z\neq 1$ . Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

{}\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.

Aufgabe

In einer Studenten-WG bereitet Studi 1 Kaffee zu, und füllt die Menge ${}x_{1}$ Kaffee in den Kaffeefilter. Dies sieht entsetzt Studi 2 und sagt: „Willst Du, dass wir alle schon total wach werden?“ und nimmt die Kaffeemenge ${}x_{2}<x_{1}$ wieder aus dem Filter heraus. Danach kommt Studi 3 und sagt: „Bin ich hier in einer Weicheier-WG gelandet?“ und kippt wieder eine Kaffeemenge ${}x_{3}<x_{2}$ dazu. So geht es unendlich weiter, wobei sich Kaffeeherausnehmer und Kaffeenachfüller abwechseln. Wie kann man charakterisieren, ob die Kaffeemenge im Filter konvergiert?

Aufgabe

Nachdem der Kaffee am Vortag für die Befürworter eines starken Kaffees zu schwach geworden ist, entwickeln sie eine neue Strategie: Sie wollen etwas früher aufstehen, sodass am Tagesanfang und zwischen je zwei Kaffeereduzierern immer zwei Kaffeeauffüller zum Zuge kommen. Dabei bleibt die interne Reihenfolge der beiden Lager als auch die hinzuzufügende bzw. wegzunehmende Kaffeemenge einer Person unverändert. Können sie mit dieser Strategie den Kaffee stärker machen, beispielsweise bei ${}x_{n}={\frac {1}{n}}$ ?

Aufgabe

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$ , sitzen in der Kneipe. ${}A$ will nach Hause gehen, aber ${}B$ will noch ein Bier trinken. „Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte“ sagt ${}A$ . Danach möchte ${}B$ immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel „allerletztes Bier“ trinken sie insgesamt?

Aufgabe

Es sei ${}k\geq 2$ . Zeige, dass die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}

konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ , die gegen ${}x\in X$ konvergiere. Es sei ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine weitere Folge in ${}X$ , wobei die folgende Eigenschaft gilt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}N\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}k,m\geq N$ die Beziehung

d{\left(x_{k},y_{m}\right)}\leq \epsilon

gilt. Zeige, dass auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine summierbare Familie komplexer Zahlen und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie ${}a_{i}$ , ${}i\in J$ , summierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie ${}\vert {a_{i}}\vert$ , ${}i\in I$ , sei summierbar. Zeige, dass ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , summierbar ist.

Aufgabe

Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$ . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}g\in \mathbb {N}$ , ${}g\geq 2$ . Eine Ziffernfolge, die durch

z_{i}\in \{0,1,\ldots ,g-1\}{\text{ für }}i\in \mathbb {Z} ,\,i\leq k,

(wobei ${}k\in \mathbb {N}$ ist) gegeben ist, definiert eine reelle Reihe^[1]

\sum _{i=k}^{-\infty }z_{i}g^{i}.

Zeige, dass eine solche Reihe gegen eine eindeutig bestimmte nichtnegative reelle Zahl konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}}{2^{n}}}

konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ${}v>0$ ) hat einen Vorsprung ${}s>0$ gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit ${}w>v$ und dem Startpunkt ${}0$ ). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ${}s_{0}=s$ ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle ${}s_{1}>s_{0}$ . Wenn Achilles an der Stelle ${}s_{1}$ ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle ${}s_{2}>s_{1}$ , u.s.w.

Berechne die Folgenglieder ${}s_{n}$ , die zugehörigen Zeitpunkte ${}t_{n}$ , sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie

\vert {a_{E}}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}}\vert ,E\subseteq I,\,E{\text{ endlich}},

nach oben beschränkt ist.

Die letzte Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei

f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ . Dann heißt ${}f$ stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl ${}c<1$ gibt mit