Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 47/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Aufgabe 47.1 ändern

Es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler reeller Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
2. Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
3. Die Bilinearform ist vom Typ ${}(p,n-p)$ (mit einem ${}p\in {\{1,\ldots ,n\}}$.)

Aufgabe Aufgabe 47.2 ändern

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ ${}(n-q,q)$ auf einem ${}n$- dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von ${}\det G$ gleich ${}(-1)^{q}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}3&1\\1&-5\end{pmatrix}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{3}-xy+y^{2},$

in jedem Punkt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y\cdot \sin x,$

im Nullpunkt ${}(0,0)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in ${}2$ oder ${}3$ Variablen für die Grade ${}k=1,2,3$.

In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ ein ${}n$- Tupel natürlicher Zahlen. Es sei ${}k:=\sum _{j=1}^{n}r_{j}$. Dann nennt man die Zahl

${}{\binom {k}{r}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,$

einen Polynomialkoeffizienten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

In einem Studium werden ${}11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar ${}3$ Seminarscheine, ${}5$ Klausuren, ${}2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}n,k\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ mit ${}n$. Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\},$

bei denen das Urbild zu ${}j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ aus genau ${}r_{j}$ Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}k,n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ mit ${}\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$. Zeige, dass die Anzahl der ${}n$-Tupel

$(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,k\}^{n},$

in denen die Zahl ${}j$ genau ${}r_{j}$-mal vorkommt, gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ einer ${}n$-elementigen Menge gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung

$(a_{1}+\cdots +a_{n})^{k}=\sum _{r=(r_{1},\ldots ,r_{n}),\,\sum _{i=1}^{n}r_{i}=k}{\binom {k}{r}}a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\cdots a_{n}^{r_{n}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}2&4&1\\4&-2&3\\1&3&5\end{pmatrix}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto z\cdot \exp(xy),$

im Nullpunkt ${}(0,0,0)$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto xy^{3}-x^{2}\ln z,$

im Punkt ${}(0,2,3)$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-xy^{2}+x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f$ ein Polynom in ${}n$ Variablen vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass ${}f$ mit dem Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ von ${}f$ im Nullpunkt übereinstimmt.