Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 73/latex
\setcounter{section}{73}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cavalieris_principle.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cavalieriho princip.svg } {} {Pajs} {cs Wikipedia} {Public domain} {}
\inputfaktbeweis
{Cavalieri/Universelle Translationsinvarianz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und
\maabbdisp {v} {M} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi_v} {M \times \R^n} { M \times \R^n
} {(x,y)} { (x,y+v(x))
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
und
\definitionsverweis {maßtreu}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung $\varphi_v$ ist
\definitionsverweis {messbar}{}{}
nach
Lemma 65.11
und nach
Lemma 69.3.
Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist $\varphi_{-v}$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M \times N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {messbar}{}{.}
Wir müssen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\mu \otimes \lambda^n )(T)
}
{ =} {(\mu \otimes \lambda^n )( \varphi_v^{-1}(T))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zeigen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \varphi^{-1}_v(T))(x)
}
{ =} { { \left\{ y \in \R^n \mid (x,y) \in \varphi_v^{-1}(T) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ y \in \R^n \mid (x,y+v(x)) \in T \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der
\definitionsverweis {Translationsinvarianz}{}{}
des
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maßes}{}{}
besitzt diese Menge das gleiche Maß wie
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left\{ y +v(x) \in \R^n \mid (x,y+v(x)) \in T \right\} }
}
{ =} { { \left\{ z \in \R^n \mid (x,z) \in T \right\} }
}
{ =} { T(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips
gilt also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\mu \otimes \lambda^n)(T)
}
{ =} { \int_{ M } \lambda^n(T(x)) \, d \mu
(x)
}
{ =} { \int_{ M } \lambda^n { \left( { \left( \varphi_v^{-1}(T) \right) } (x) \right) } \, d \mu
(x)
}
{ =} { { \left( \mu \otimes \lambda^n \right) } { \left( \varphi_v^{-1}(T) \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Einige Volumina}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R \times \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mathdisp {{ \left\{ (x, y \cos \alpha, y \sin \alpha ) \in \R^3 \mid (x,y) \in T , \, \alpha \in [0, 2 \pi] \right\} }} { }
die zugehörige \definitionswort {Rotationsmenge}{}
\zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Integral_apl_rot_objem3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Integral apl rot objem3.svg } {} {Pajs} {cs Wikipedia} {PD} {}
\inputfaktbeweis
{Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R_{\geq 0}
} {t} {f(t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Rotationskörper}{}{}
zum
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
von $f$ um die $x$-Achse.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $K$ das Volumen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^3(K)
}
{ =} { \pi \cdot \int_{ [a,b] } (f(t))^2 \, d \lambda(t)
}
{ =} { \pi \cdot \int_{ a }^{ b } (f(t))^2 \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei für die zweite Formel $f$ als
\definitionsverweis {stetig}{}{}
vorausgesetzt sei.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
dem Cavalieri-Prinzip
und
nach der Formel für den Flächeninhalt des Kreises
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\lambda \otimes \lambda^2)(K)
}
{ =} { \int_{ [a,b] } \lambda^2 (K(t)) \, d \lambda(t)
}
{ =} { \pi \int_{ [a,b] } (f(t))^2 \, d \lambda(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
$f$ ist dies nach
Satz 71.5
gleich
\mathdisp {\pi \int_{ a }^{ b } (f(t))^2 \, d t} { . }
Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer
\zusatzklammer {differenzierbaren} {} {} Funktion werden wir in
Satz 86.4 berechnen.
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen das Volumen einer $n$-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius $r$ berechnen, also von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_n(r)
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid \Vert {x} \Vert \leq r \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
Satz 68.2
gilt dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n (B_n(r))
}
{ = }{ r^n \lambda^n ( B_n(1))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Ihr Volumen bezeichnen wir mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta_n
}
{ = }{ \lambda^n(B_n(1))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zur Berechnung gehen wir induktiv vor
\zusatzklammer {es ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \beta_1
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_n
}
{ \subseteq} { \R^{n-1} \times \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für jedes fixierte
\mathbed {h} {}
{-1 \leq h \leq 1} {}
{} {} {} {,}
kann man den Querschnitt als
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ B_n (h)
}
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_{n-1}) \in \R^{n-1} \mid (x_1 , \ldots , x_{n-1}, h) \in B_n \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_{n-1} ) \in \R^{n-1} \mid x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 +h^2 \leq 1 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_{n-1}) \in \R^{n-1} \mid x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 \leq 1 -h^2 \right\} }
}
{ =} { B_{n-1} { \left( 0, \sqrt{ 1-h^2 } \right) }
}
}
{}
{}{}
schreiben, d.h. als eine $(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius
\mathl{\sqrt{ 1-h^2 }}{.} Aufgrund
des Cavalieri-Prinzips
ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\beta_{n}
}
{ =} { \lambda^{n} (B_{n}(1))
}
{ =} { { \left( \lambda^{n-1} \otimes \lambda^1 \right) } (B_{n}(1))
}
{ =} { \int_{ [-1,1] } \lambda^{n-1} { \left( B_{n-1}( \sqrt{1-h^2}) \right) } \, d \lambda^1
}
{ =} { \int_{ [-1,1] } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \lambda^{n-1} { \left( B_{n-1}(1) \right) } \, d \lambda^1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \lambda^{n-1} { \left( B_{n-1}(1) \right) } \cdot \int_{ [-1,1] } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \, d \lambda^1
}
{ =} { \beta_{n-1} \cdot \int_{ [-1,1] } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \, d \lambda^1
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dabei können wir das Integral rechts wegen
Satz 71.5
und
Korollar 32.7
über
\definitionsverweis {Stammfunktionen}{}{}
ausrechnen. Die
Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h
}
{ =} { \sin t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -1 }^{ 1 } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \, d h
}
{ =} { \int_{ - { \frac{ \pi }{ 2 } } }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \cos^{ n } t \, d t
}
{ =} { 2 \int_{ 0 }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \sin^{ n } t \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Beweis zu
Korollar 33.4
wurden diese Integrale berechnet; mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ = }{ \int_{ 0 }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \sin^{ n } t \, d t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { \begin{cases} { \frac{ (n-1)(n-3)\cdots 3 \cdot 1 }{ n(n-2) \cdots 4 \cdot 2 } } \cdot { \frac{ \pi }{ 2 } } \text{ bei } n \text{ gerade } \geq 2\, , \\ { \frac{ (n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2 }{ n(n-2) \cdots 5 \cdot 3 } } \text{ bei } n \text{ ungerade} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta_n
}
{ = }{ 2 \beta_{n-1} a_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man schließlich mit Hilfe der
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
das Kugelvolumen als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \beta_n
}
{ =} { { \frac{ \pi^{n/2} }{ \operatorname{Fak} \, (n/2) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus
Satz 37.6,
siehe
Aufgabe *****.
}
Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert $\pi$ und für das Volumen der Einheitskugel der Wert
\mathl{{ \frac{ 4 }{ 3 } } \pi}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Coneirr3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Coneirr3.svg } {} {Mpfiz} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ = }{ \R^n \times 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ \R^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_B
}
{ =} { { \left\{ P+t(Q-P) \mid Q \in B , \, t \in [0,1] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Kegel}{} zur Basis $B$ mit der Spitze $P$.
}
\inputfaktbeweis
{Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {messbar}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und $K_B$ der zugehörige
\definitionsverweis {Kegel}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ = }{ P_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die letzte Koordinate von $P$.}
\faktfolgerung {Dann ist $K_B$ ebenfalls messbar, und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^{n+1} { \left( K_B \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n+1 } } \lambda^{n} (B) \cdot \betrag { h }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt der gesamte Kegel in $\R^n$ und sein $\lambda^{n+1}$-Maß ist $0$ nach
Lemma 67.11,
sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Durchschnitt von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ K_B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ = }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$t$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {h} {,}
gegebenen
\definitionsverweis {Hyperebene}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ K(t)
}
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid (x_1 , \ldots , x_n, t) \in K_B \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid (x_1 , \ldots , x_n,t) = P+ { \frac{ (h-t) }{ h } } (Q-P) , \, Q \in B \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wegen der
\definitionsverweis {Translationsinvarianz}{}{}
und
Korollar 68.3
ist dessen Volumen gleich
\mathl{\betrag { { \frac{ h-t }{ h } } }^n \lambda^n(B)}{.} Nach
dem Cavalieri-Prinzip
ist also
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s
}
{ = }{ h-t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\lambda^{n+1} (K_B)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \betrag { h } } \lambda^n(K(s)) \, d s
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \betrag { h } } \lambda^n(B) \cdot { \left( { \frac{ s }{ \betrag { h } } } \right) }^n \, d s
}
{ =} { \lambda^n(B) \cdot { \frac{ 1 }{ \betrag { h } ^n } } \cdot \int_{ 0 }^{ \betrag { h } } s^n \, d s
}
{ =} { \lambda^n(B) \cdot { \frac{ 1 }{ \betrag { h }^n } } \cdot { \frac{ 1 }{ n+1 } } \betrag { h }^{n+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \lambda^n(B) \cdot { \frac{ 1 }{ n+1 } } \cdot \betrag { h }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius
\mathl{\sqrt{1-h^2}}{.} Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist
\mathl{2 \pi \sqrt{1-h^2}}{.} Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann
\zusatzklammer {mit der Substitution
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ h
}
{ = }{ \sin s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ A
}
{ =} { 2 \int_{ 0 }^{ 1 } 2 \pi \sqrt{1-h^2} \, d h
}
{ =} { 4 \pi \int_{ 0 }^{ 1 } \sqrt{1-h^2} \, d h
}
{ =} { 4 \pi \int_{ 0 }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \cos^{ 2 } s \, d s
}
{ =} { 4 \pi { \frac{ 1 }{ 2 } } (s + \sin s \cos s) | _{ 0 } ^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \pi { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ =} { \pi^2
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Der wahre Wert ist aber mit $4 \pi$ deutlich größer.
}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Fubini}
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei
\maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.} Der Satz von Fubini bringt das Integral
\mathl{\int_{ M \times N } f \, d (\mu \otimes \nu)}{} mit dem Integral über $M$ der Funktion
\maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R }
} {y} { \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y)
} {,}
in Verbindung. Er erlaubt es, Integrale über einem höherdimensionalen Bereich auf eindimensionale Integrale zurückzuführen. Sein Beweis beruht auf dem Cavalieri-Prinzip, angewendet auf den Produktraum
\mathl{M \times N \times \overline{ \R }}{,} und ist prinzipiell nicht schwierig. Allerdings muss man bei einigen Details
\zusatzklammer {Nichtnegativität, Undefiniertheitsstellen, Nullmengen} {} {} doch präzise sein, so dass wir einige vorbereitende Lemmata anführen.
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {Maßraumes}{}{}
$M$ heißt
\definitionswortenp{Nullmenge}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(Z)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in $\R^n$ eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen $Z$, für die es eine messbare Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{Z'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(Z')
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Eigenschaft $E$, die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft
\definitionswortenp{fast überall}{} gilt, wenn die Ausnahmemenge
\mathdisp {{ \left\{ x \in M \mid E(x) \text{ gilt nicht} \right\} }} { }
eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von \stichwort {fast überall definierten Funktionen} {.} Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche \anfuehrung{kleinen}{} Undefiniertheitsstellen ignorieren.
\inputfaktbeweis
{Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei
\maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {y} { f(x,y)
} {,}
und für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\maabbeledisp {} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {x} { f(x,y)
} {,}
\definitionsverweis {messbar}{}{.}
}{Die Funktion
\maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {y} { \int_{ M } f(x,y) \, d \mu(x)
} {,} und die Funktion
\maabbeledisp {} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {x} { \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y)
} {,}
sind
\definitionsverweis {messbar}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M\times N } f \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x)
}
{ =} { \int_{ N } { \left( \int_{ M } f(x,y) \, d \mu(x) \right) } \, d \nu(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
\maabbeledisp {} { M } { M \times N
} { x } { (x,y)
} {,}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus
Lemma 72.4
angewendet auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(f)
}
{ \subseteq} { M \times ( N \times \overline{ \R })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da
\mathl{(S(f))(x)}{} der Subgraph von
\mathl{f(x,-)}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_N f(x,-) d \nu
}
{ = }{ \nu \otimes \lambda^1 (S(f)(x) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Nach
Satz 72.5,
angewendet auf das Produkt
\mathl{M \times (N \times \overline{ \R } )}{,} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ M \times N } f \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ =} { { \left( \mu \otimes \nu \otimes \lambda^1 \right) } ( S(f))
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \nu \otimes \lambda^1 \right) } { \left( (S(f))(x) \right) } \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu \right) \, d \mu
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da man die Rollen von
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.}
{}
\inputfaktbeweis
{Sigmaendliche Räume/Funktion/Integrationskriterium/Tonelli/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei
\maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann
\definitionsverweis {integrierbar}{}{,}
wenn
\mathdisp {\int_{ M } { \left( \int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x) \text{ oder } \int_{ N } { \left( \int_{ M } \betrag { f(x,y) } \, d \mu(x) \right) } \, d \nu(y)} { }
endlich ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Integrierbarkeit von $f$ ist nach
Lemma 70.5
äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von
\mathl{\int_{ M \times N } \betrag { f } \, d (\mu \otimes \nu)}{} bedeutet. Die Aussage folgt daher aus
Lemma 73.8.
Wir kommen nun zum
\stichwort{Satz von Fubini}{.}
\inputfaktbeweis
{Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei
\maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die beiden Funktionen
\maabbeledisp {} {M} {\overline{ \R }
} {x} { \int_{ N } f(x,y) \, d \nu (y)
} {,}
und
\maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R }
} {y} { \int_{ M } f(x,y) \, d \mu (x)
} {,}
\definitionsverweis {fast überall}{}{}
reellwertig und fast überall
\definitionsverweis {integrierbar}{}{,}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M\times N } f \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x)
}
{ =} { \int_{ N } { \left( \int_{ M } f(x,y) \, d \mu(x) \right) } \, d \nu(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Nach Voraussetzung und nach
Lemma 73.9
ist die Funktion
\mathl{x \mapsto \int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y)}{}
\definitionsverweis {integrierbar}{}{.}
Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral
\mathl{\int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y)}{} fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine
\definitionsverweis {Nullmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \notin }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher sind
nach Lemma 70.5
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \notin }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Integrale
\mathl{\int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y)}{} definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile
\mathkor {} {f_+(x,y)} {und} {f_-(x,y)} {.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da
\mathl{Z \times N}{} eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man $M$ durch
\mathl{M \setminus Z}{} ersetzen.
Wir schreiben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ M\times N } f \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ =} { \int_{ M\times N } (f_+ -f_-) \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ =} { \int_{ M\times N } f_+ \, d (\mu \otimes \nu) - \int_{ M\times N } f_- \, d (\mu \otimes \nu)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wenden auf die beiden Summanden
Lemma 73.8
an, sodass dies gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } f_+(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x) - \int_{ M } { \left( \int_{ N } f_-(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x)
}
{ =} { \int_{ M } \left( \int_{ N } ( f_+(x,y) -f_-(x,y) ) \, d \nu(y) \right) \, d \mu(x)
}
{ =} { \int_{ M } \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) \right) \, d \mu(x)
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
ist.}
{}
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