Lösung
- Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
- Ein
Körper
heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von eine Beziehung
(„größer als“)
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt
(
bedeutet
oder
).
- Für je zwei Elemente
gilt entweder
oder
oder
.
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
- Aus
folgt
(für beliebige
).
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
- Die
Funktion
-
heißt
(reelle)
Exponentialfunktion.
- Zu
, ,
heißt die Zahl
-
der Differenzenquotient von zu
und .
- Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn
differenzierbar
ist und die
Ableitung
stetig
ist.
- Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen
-
und
-
derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind
(dabei seien
und beliebig):
- ,
- ,
- ,
- Zu jedem gibt es ein mit ,
- ,
- ,
- ,
- .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz von Euklid
über Primzahlen.
- Der
Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
- Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.
Lösung
- Es gibt unendlich viele Primzahlen.
- Es sei und sei
-
eine stetige, auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit
-
- Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei
-
eine lineare Abbildung. Es seien
und
Basen von . Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich
bzw.
(beidseitig)
beschreiben, die Beziehung
-
Folgende Aussagen seien bekannt.
- Der frühe Vogel fängt den Wurm.
- Doro wird nicht von Lilly gefangen.
- Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
- Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
- Doro ist ein Wurm.
- Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
- Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.
Beantworte folgende Fragen.
- Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
- Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
- Fängt der späte Igel den Wurm?
Lösung
- Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm.
Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
- Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
- Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.
Lösung
Die Ungleichung
-
folgt gemäß der Überkreuzungsregel unter Verwendung der Voraussetzung
aus
-
die Ungleichung
-
folgt ebenso aus
-
Wir behaupten, dass für
-
die Beziehung
-
gilt. Dazu berechnen wir
-
und
-
Die Differenz des ersten Term zum zweiten Term ist
-
was die Behauptung bestätigt.
Beweise die Formel
-
mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.
Lösung
Der binomische Lehrsatz besagt
-
Wir setzen
.
Dann ergibt sich auf der linken Seite
-
und auf der rechten Seite einfach .
Lösung
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
-
gegebenen Geraden.
Lösung
Der Einheitskreis ist durch
-
gegeben. Darin setzen wir
-
ein und erhalten
-
Also ist
-
und damit
Somit ist
Die Schnittpunkte sind also
und .
Zeige, dass
-
eine Nullstelle des Polynoms
-
ist.
Lösung
Es ist
Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion
-
auf .
- Erstelle eine Wertetabelle für für die Stellen
.
- Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das mit an den Stellen
übereinstimmt.
- Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu und die Intervalle, für die oberhalb bzw. unterhalb von verläuft.
Lösung
-
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- Wie wenden
Satz 6.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
an. Für das gesuchte Polynom soll
,
und
gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad , das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz
-
wobei wegen der ersten Bedingung sofort
folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf
-
und
-
Daraus ergibt sich
-
und somit
-
und
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
- Wir vergleichen nun
und .
Für
ist
-
wir vergleichen daher nur noch die Werte auf , wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also und
-
Es geht also darum, wo die Differenzfunktion
-
auf Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei
liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor
-
bzw.
-
Nach Konstruktion von wissen wir, dass bei
und bei
weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung
-
Somit stimmen
und
genau an den Stellen
überein und auf gilt
-
auf gilt
-
und auf gilt
-
Lösung
Wir betrachten
-
Diese Funktion ist nach
Lemma 10.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
wieder stetig und es ist
-
und
-
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es ein mit
-
also ist
-
Lösung
Lösung
a) Es ist
-
genau dann, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Der Definitionsbereich ist also .
b)
c) Nach
der Quotientenregel
ist
-
Weiterhin ist
und
d) Wegen
und
ist
-
-
-
und
-
daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung gleich
-
Lösung
Wegen
-
für alle
-
ist das Nulltupel eine Lösung. Es seien und Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu
ist dann für jedes
-
Entsprechend ist
für alle . Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.
Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.
Bestimme die inverse Matrix zur Matrix
-
über dem
Körper der rationalen Funktionen
.
Lösung
Die Determinante der Matrix ist
-
die inverse Matrix ist daher
Wir betrachten die lineare Abbildung
-
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
-
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
Lösung
a) Das charakteristische Polynom ist
und die Eigenwerte von sind .
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
-
bestimmen. Da gehört dazu.
:
Dies führt auf
-
Wir wählen und und erhalten , also ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert .
:
Dies führt auf
-
Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
-
und daher ist
-
Daher ist
-
Somit ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
-