Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/54/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	5	6	3	3	3	1	7	3	5	3	3	3	6	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.
2. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
3. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

4. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

5. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

6. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

1. Man sagt, dass die Menge ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.
2. Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

3. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist,wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
4. Das Treppenintegral von ${}t$ ist durch

   $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

   definiert.

5. Eine Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

   1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
   2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.
6. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix ${}M$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
2. Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.
3. Der Satz über ${}n$ Vektoren in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$. Dann ist die Reihe

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   absolut konvergent.
2. Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ eine Potenzreihe, die auf dem Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere, und es sei

   $f\colon ]-r,r[\longrightarrow \mathbb {R}$

   die dadurch definierte

   Funktion. Dann ist ${}f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylorreihe im Entwicklungspunkt ${}0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$. Für ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
   1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
   2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
   3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.

Lösung

Man möchte eine Aussage ${}A$ beweisen. Man nimmt an, dass ${}A$ nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann ${}\neg A$ nicht gelten und also muss ${}A$ gelten.

Aufgabe (2 Punkte)

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus ${}a\cdot b$ rechteckigen Teilstücken besteht (${}a$ beziehe sich auf die Länge). Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei ${}c$ und der Abstand der Querrillen sei ${}d$. Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?

Lösung

Die Länge der Schokolade ist ${}ad$ und die Höhe ist ${}bc$, deshalb ist der Flächeninhalt der Schokolade gleich ${}abcd$.

Es gibt ${}b-1$ Längsrillen, die jeweils die Länge ${}ad$ haben, und es gibt ${}a-1$ Querrillen, die jeweils die Länge ${}bc$ haben. Die gesamte Länge der Rillen ist daher

${}(b-1)ad+(a-1)bc=ab(d+c)-ad-bc\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei ${}\varphi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen ${}m>n\geq 1$ mit ${}\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.

Lösung

Da ${}M$ endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge ${}\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}$ endlich, da es für jedes Element nur ${}{\#\left(M\right)}$ viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von ${}\mathbb {N} _{+}$ in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen ${}m\neq n$ mit

${}\varphi ^{m}=\varphi ^{n}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit ${}\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen ${}\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen

${}0\succeq x\,$

für jede rationale Zahl ${}x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die ${}0$ als heilig verehren.

Zeige, dass ${}\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in \mathbb {Q}$ gilt entweder ${}a\succ b$ oder ${}a=b$ oder ${}b\succ a$.
2. Aus ${}a\succeq b$ und ${}b\succeq c$ folgt ${}a\succeq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$).
3. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}a+b\succeq 0$.
4. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}ab\succeq 0$.

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt ${}(\mathbb {Q} ,\succeq )$ nicht?

Lösung

Sämtliche Eigenschaften gelten, wenn jeweils die ${}0$ nicht vorkommt, da dann ${}\succeq$ mit ${}\geq$ übereinstimmt und von ${}(\mathbb {Q} ,\geq )$ diese Eigenschaften bekannt sind. Wir müssen also jeweils nur Situationen betrachten, wo ${}0$ vorkommt.

1. Bei ${}0\neq a$ gilt ${}0\succ a$, deshalb gilt die Eigenschaft.
2. Wenn ${}a=0$ ist wegen ${}0\succ c$ die Aussage klar. Wenn ${}c=0$ ist, so ist auch ${}b=0$ und in diesem Fall ist auch ${}a=0$.
3. Die Voraussetzung gilt nur bei

   ${}a=b=0\,,$

   in diesem Fall ist aber auch ${}a+b=0$.

4. Ebenso.

Es gilt nicht die Eigenschaft

Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$. Andernfalls würde wegen ${}0\succ 1$ auch

${}0+1=1\succ 2=1+1\,$

gelten, was aber nicht gilt.

Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$

1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von ${}P$.
2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von ${}P$.
3. Bestimme eine Zerlegung von ${}P$ in Linearfaktoren.

Lösung

1. Es ist

   ${}P(2)=8-4-10+6=0\,,$

   somit ist ${}2$ eine Nullstelle von ${}P$.

2. Mit einer Division mit Rest ergibt sich

   ${}X^{3}-X^{2}-5X+6=(X-2)(X^{2}+X-3)\,.$

   Es geht also noch um die Nullstellen von ${}X^{2}+X-3$. Diese sind

   ${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {1+12}}-1}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {13}}-1}{2}}\,.$

3. Es ist

   ${}P=(X-2){\left(X-{\frac {{\sqrt {13}}-1}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {{\sqrt {13}}+1}{2}}\right)}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Lösung

Es sei ${}x$ der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

$y=62+{\frac {3}{4}}x$

und mit BC50 hat man die Kosten

$z=255+{\frac {1}{2}}x.$

Die Bedingung

$x\leq 62+{\frac {3}{4}}x$

führt auf

$x\leq 248.$

Die Bedingung

$x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$

führt auf

$x\leq 510.$

Die Bedingung

$62+{\frac {3}{4}}x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$

führt auf

${\frac {1}{4}}x\leq 255-62=193,$

also

$x\leq 772.$

Also ist für ${}x\leq 248$ keine Bahncard die günstigste Option, für ${}248\leq x\leq 772$ ist die BC25 die günstigste Option und für ${}x\geq 772$ ist die BC50 die günstigste Option.

Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die Folge

${}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$

auf Konvergenz. Verwende, dass ${}{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$ gegen ${}0$ konvergiert.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)}^{2}&={\sqrt {n+1}}^{2}+{\sqrt {n}}^{2}-2{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}\\&=2n+1-2{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n&=-{\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

Da ${}{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$ und somit auch das Quadrat davon gegen ${}0$ konvergiert, konvergiert die Folge gegen ${}{\frac {1}{2}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Lösung

Für die ${}2^{n}$ Zahlen ${}k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist

${}\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$

Daher ist

${}\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 7.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) nicht konvergent sein.

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

${}r={\sqrt {2^{2}+10^{2}}}={\sqrt {104}}\,.$

Die Kreisgleichung ist somit

$(X-2)^{2}+(Y-7)^{2}=104.$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Lösung

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn ${}f$ wachsend ist, und ${}x\in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten

${}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,$

für jedes ${}h$ mit ${}x+h\in I$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für ${}h\rightarrow 0$, und dieser ist ${}f'(x)$.
Es sei umgekehrt die Ableitung ${}\geq 0$.    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte ${}x<x'$ in ${}I$ mit ${}f(x)>f(x')$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein ${}c$ mit ${}x<c<x'$ mit

${}f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,$

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun ${}f'(x)>0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre ${}f(x)=f(x')$ für zwei Punkte ${}x<x'$. Da ${}f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist ${}f$ auf dem Intervall ${}[x,x']$ konstant. Somit ist ${}f'=0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

${}f(x)={\frac {x^{2}-7x}{x-4}}\,$

im Punkt ${}a=-3$ bis zum Grad ${}\leq 2$.

Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von ${}f$ sind

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(2x-7)(x-4)-(x^{2}-7x)}{(x-4)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-8x+28}{(x-4)^{2}}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=\left({\frac {x^{2}-8x+28}{(x-4)^{2}}}\right)'\\&={\frac {(2x-8)(x-4)^{2}-2(x^{2}-8x+28)(x-4)}{(x-4)^{4}}}\\&=2{\frac {(x-4)^{2}-(x^{2}-8x+28)}{(x-4)^{3}}}\\&=2{\frac {-12}{(x-4)^{3}}}\\&={\frac {-24}{(x-4)^{3}}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}f(-3)=-{\frac {30}{7}}\,,$

${}f'(-3)={\frac {9+24+28}{49}}={\frac {61}{49}}\,,$

${}f^{\prime \prime }(-3)={\frac {-24}{(-7)^{3}}}={\frac {24}{343}}\,.$

Somit ist die Taylorentwicklung in ${}a=-3$ bis zum Grad ${}2$ gleich

$-{\frac {30}{7}}+{\frac {61}{49}}(x+3)+{\frac {12}{343}}(x+3)^{2}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann ${}F$ differenzierbar ist und dass ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Lösung

Es sei ${}x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$

Wir müssen zeigen, dass für ${}h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich ${}f(x)$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ${}h$ ein ${}c_{h}\in [x,x+h]$ mit

${}f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,$

und damit ist

${}f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.$

Für ${}h\rightarrow 0$ konvergiert ${}c_{h}$ gegen ${}x$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ konvergiert ${}f(c_{h})$ gegen ${}f(x)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

$(0,0,1)$

als Linearkombination der Vektoren

$(2,3,0),(4,-1,2){\text{ und }}(1,2,1)$

aus.

Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x+4y+z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\+2y+z&=&1\,\end{matrix}}$

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable ${}y$ aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist

${\begin{matrix}14x\,\,\,\,\,\,\,\,+9z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\6x\,\,\,\,\,\,\,\,+5z&=&1\,.\end{matrix}}$

Wir eliminieren nun die Variable ${}x$, aus der dritten Gleichung

${\begin{matrix}42x\,\,\,\,\,\,\,\,27z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\6x\,\,\,\,\,\,\,\,+5z&=&7\,.\end{matrix}}$

Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

$z={\frac {7}{8}},$

${}x=-{\frac {9}{16}}\,$

und

${}y={\frac {1}{16}}\,.$

Also ist

${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=-{\frac {9}{16}}{\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {7}{8}}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Lösung

Es seien ${}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ zwei Basen von ${}V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${}{\mathfrak {b}}$ und die linear unabhängige Familie ${}{\mathfrak {u}}$ ergibt sich ${}k\leq n$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt ${}n\leq k$, also insgesamt ${}n=k$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\4&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}\\0&1&0\\0&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}\\{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {4}{9}}\\0&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}\\{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{9}}\\0&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}\\{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{18}}\\0&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$

Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}1&2&1+2{\mathrm {i} }\\0&3{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-1&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&x-3{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\0&0&x-1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-1)(x-3{\mathrm {i} })(x-1+{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(2+2{\mathrm {i} })x^{2}+(4+5{\mathrm {i} })x+-3-3{\mathrm {i} }\end{aligned}}$

und die Eigenwerte von ${}A$ sind ${}1,3{\mathrm {i} },1+{\mathrm {i} }$.

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

${}x=1$:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

${\begin{pmatrix}0&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&1-3{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\0&0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

bestimmen. Da gehört ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ dazu.

${}x=3{\mathrm {i} }$:

Dies führt auf

${\begin{pmatrix}-1+3{\mathrm {i} }&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&0&-{\mathrm {i} }\\0&0&-1-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Wir wählen ${}c=0$ und ${}a=2$ und erhalten ${}b=-1+3{\mathrm {i} }$, also ist

${\begin{pmatrix}2\\-1+3{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}3{\mathrm {i} }$.

${}x=1-{\mathrm {i} }$:

Dies führt auf

${\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&1-2{\mathrm {i} }&-i\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Mit ${}c=1-2{\mathrm {i} }$ und ${}b={\mathrm {i} }$ ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

$({\mathrm {i} })a-2{\mathrm {i} }+(-1-2{\mathrm {i} })(1-2{\mathrm {i} })=0$

und daher ist

${}a=2-5{\mathrm {i} }\,.$

Somit ist

${\begin{pmatrix}2-5{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }\\1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1-{\mathrm {i} }$.

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3{\mathrm {i} }&0\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$