Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/6/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 3 5 5 4 7 7 4 4 3 4 2 2 7 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Eine wachsende reelle Folge.
  3. Der Arkuskosinus.
  4. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  6. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .


Lösung

  1. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  2. Die reelle Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.
  3. Der Arkuskosinus

    ist die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion.

  4. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .

  5. Das System
    heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.
  6. Die Matrix mit

    heißt die inverse Matrix von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  2. Der Satz von Rolle.
  3. Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  2. Sei und sei

    eine stetige, auf differenzierbare Funktion mit . Dann gibt es ein mit

  3. Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

    und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion


Aufgabe (1 Punkt)

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie

  1. Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
  2. Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
  3. Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.

Was ist am schlimmsten?


Lösung

(1) und (3) sind jedenfalls nicht schlimm, da Petra die Schlüssel hat und daher direkt die vergessenen Sachen holen kann. Bei (2) hat sie dagegen ein Problem, wenn sie zurückkommt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

allgemeingültig ist


Lösung

Wir müssen zeigen, dass für jede Wahrheitsbelegung der Variablen der Wahrheitswert der Gesamtaussage gleich ist. Bei ist und damit ist der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr. Sei also im Folgenden . Dann ist . Bei ist der Vordersatz falsch und somit die Gesamtaussage wahr. Sei also . Dann ist der Vordersatz wahr und wir müssen zeigen, dass auch der Nachsatz wahr ist. Es ist dann und , also ist auch in diesem Fall der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ist

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für jeweils die Identität, also die Abbildung . Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren . Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

nach. Diese gelten wegen

und


Aufgabe (7 (3+1+3) Punkte)

Es sei eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

(mit ).

  1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
  2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder sind.
  3. Zeige, dass die Folge gegen konvergiert ist.


Lösung

  1. Es ist

    für jedes zu zeigen. Aufgrund des strengen Wachstums des Potenzierens können wir die -te Potenz der beiden Zahlen vergleichen. Wegen

    ist dies richtig.

  2. Dies ergibt sich aus dem strengen Wachstum des -ten Wurzelziehens (siehe Satz 11.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))).
  3. Wenn die Folge nicht gegen konvergieren würde, so würde es, da die Folge streng fallend ist, ein

    mit

    für alle geben. Das bedeutet

    Da eine feste Zahl ist und beliebig groß wird, widerspricht das dem Archimedesprinzip in der Form Lemma 5.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)).


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge , konvergiert. Zeige, dass konstant ist.


Lösung

Nehmen wir an, dass stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte mit . Sei der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen . Wegen der Stetigkeit gibt es ein und ein derart, dass und ist. Da es in der -Umgebung von und der -Umgebung von unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Indizes der Folge mit und unendlich viele Indizes mit .

Es sei der Grenzwert der Folge . Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein derart, dass für alle alle Folgenglieder in der -Umgebung von liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der -Umgebungen von oder disjunkt, so dass ein Widerspruch vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in differenzierbar. Ferner ist und

Daher erfüllt die Voraussetzungen von Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und somit gibt es ein mit . Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Betrachte die Abbildung

  1. Bestimme die erste Ableitung von .
  2. Bestimme die zweite Ableitung von .
  3. Bestimme das Monotonieverhalten von .
  4. Ist injektiv?


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Die erste Ableitung ist stets positiv, daher ist die Funktion streng monoton wachsend.
  4. Als streng wachsende Funktion ist die Funktion auch injektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion im Nullpunkt.


Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

und

Daher ist , und . Das Taylor-Polynom zu dieser Funktion im Nullpunkt ist daher .


Aufgabe (4 Punkte)

Der Graph des quadratischen Polynoms

und die -Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.


Lösung

Die Nullstellen des Polynoms sind

Das bestimmte Integral zwischen diesen Grenzen ist

Der Flächeninhalt ist also


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Lösung

Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält

Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt

Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.


Lösung

Für ist

und für , ist

was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.


Aufgabe (7 (3+4) Punkte)

Es sei

eine Matrix über einem Körper .

a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.


Lösung

a) Es sei , . Wenn ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist, so ergänzen wir durch einen Vektor zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch gegebene lineare Abbildung durch eine zu ähnliche Matrix der Form

beschrieben, es gibt also darin mindestens eine . Wenn hingegen kein Eigenvektor ist, so sind und linear unabhängig und bilden eine Basis des . Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form

beschrieben.

b) Wir betrachten die Matrix

über und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine vorkommt. Es sei eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche Spur, die gleiche Determinante und das gleiche charakteristische Polynom wie . Da die Determinante von gleich ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von zweimal eine stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur sein müsste, diese ist aber . Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre eine Diagonalmatrix und wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach Beispiel 28.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) nicht der Fall.