Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	5	7	4	3	5	4	5	3	10	8	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Stetigkeit einer Abbildung
$f\colon L\longrightarrow M$

zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$ .
Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung
$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ .
Ein lokales Minimum einer Funktion
$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem metrischen Raum ${}M$ in einem Punkt ${}x\in M$ .
Die Eigenschaft eines Vektorfeldes
$f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
Die Rotationsmenge (um die ${}x$ -Achse) zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen
$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

und

$g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ .
Der Satz von Picard-Lindelöf.

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

y'={\frac {t}{t^{2}-1}}y^{2}

mit ${}t>1$ und ${}y<0$ .

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon L\rightarrow M$ zwischen metrischen Räumen in einem Punkt ${}x\in L$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Von einer Bewegung

\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

sei der Geschwindigkeitsverlauf

{}\varphi '(t)=\left({\frac {t^{2}-1}{t}},\,t\sin \left(t^{2}\right),\,te^{t}\right)\,

bekannt. Ferner sei

{}\varphi (1)=(1,2,3)\,

bekannt. Bestimme ${}\varphi (t)$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

{}F{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y+e^{x}\\\sin y\end{pmatrix}}\,

auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ zum Weg

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

{}y^{\prime \prime }+e^{t}y'+ty=t^{2}+3\,

mit den Anfangsbedingungen ${}y(0)=2$ und ${}y'(0)=5$ durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

in einem Punkt ${}P\in V$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige

{}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}f\,.

Aufgabe * (10 (2+4+2+2) Punkte)

Es sei ${}f(x,y)=x\sin y$ .

Bestimme die kritischen Punkte von ${}f$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ .
Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$ .
Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf die durch ${}y=x$ gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt.
Bestimme, ob die Einschränkung von ${}f$ auf die durch ${}y=x$ gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt.