Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 17
- Aufwärmaufgaben
Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen
Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.
Es seien und zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch
gegeben ist.
Es sei
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz
Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion
nicht nach oben beschränkt ist und dass das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.[1]
Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.
- Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
- Es gilt
- Es gilt für .
- Es gilt
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?
Es seien und fixiert. Zeige
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne die Koeffizienten der Potenzreihe , die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge
bestimmt divergent gegen ist.[2]
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei
eine stetige Funktion , die die Gleichung
für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.
- Fußnoten
- ↑ Aus der Stetigkeit folgt daraus, dass das Bild der reellen Exponentialfunktion ist.
- ↑ Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.
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