Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 17

Potenzreihen

Definition

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Basis ${}x\in \mathbb {R}$ ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man ${}x$ variieren lässt und dann die Potenzreihe in einem Konvergenzintervall eine Funktion in ${}x$ darstellt.

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der ${}14$ten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$, die für ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert und dort die Funktion ${}1/(1-x)$ darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede reelle Zahl konvergiert und zur reellen Exponentialfunktion führt. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus.

Satz

Es sei

${}f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}\,$

eine Potenzreihe und es gebe ein ${}x_{0}\neq 0$ derart, dass ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{0}^{n}$ konvergiere.

Dann gibt es ein positives ${}R$ (wobei ${}R=\infty$ erlaubt ist) derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x}\vert <R$ die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen (offenen) Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe ${}f(x)$ eine stetige Funktion dar.

Beweis

Der Beweis beruht auf einer systematischen Untersuchung für Potenzreihen und dem Limes von Funktionenfolgen. Wir werden ihn nicht durchführen.

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Definition

Zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Auch für die folgende Aussage geben wir keinen Beweis.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

Die Exponentialreihe und die Exponentialfunktion

Definition

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}x$.

Dies ist also die Reihe

$1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\ldots .$

Satz

Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ ist die Exponentialreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

absolut konvergent.

Beweis

Für ${}x=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

${}\vert {\frac {\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {x}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}\,.$

Dies ist für ${}n\geq 2\vert {x}\vert$ kleiner als ${}1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.

$\Box$

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die reelle Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

heißt (reelle) Exponentialfunktion.

Die folgende Aussage heißt die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

Satz

Für reelle Zahlen ${}x,y\in \mathbb {R}$ gilt

${}\exp \left(x+y\right)=\exp x\cdot \exp y\,.$

Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

mit

${}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}\,.$

Diese Reihe ist nach Lemma 17.4 absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${}n$-te Summand der Exponentialreihe von ${}x+y$ nach Fakt ***** gleich

${}{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}=c_{n}\,,$

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.

$\Box$

Korollar

Die Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\exp 0=1$.
2. Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ ist ${}\exp \left(-x\right)=(\exp x)^{-1}$. Insbesondere ist ${}\exp x\neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$.
4. Für jedes ${}x$ ist ${}\exp x\in \mathbb {R} _{+}$.
5. Für ${}x>0$ ist ${}\exp x>1$ und für ${}x<0$ ist ${}\exp x<1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=\exp \left(x-x\right)=\exp 0=1\,$

aufgrund von Satz 17.8.
(3) folgt für ${}n\in \mathbb {N}$ aus Satz 17.8 durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives ${}n$.
(4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${}\exp x=\exp {\left({\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}\right)}=\exp {\frac {x}{2}}\cdot \exp {\frac {x}{2}}={\left(\exp {\frac {x}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$

(5). Für reelles ${}x$ ist ${}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, so dass nach (4) ein Faktor ${}\geq 1$ sein muss und der andere Faktor ${}\leq 1$. Für ${}x>0$ ist

${}\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\ldots >1\,,$

da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden.
(6). Für reelle ${}y>x$ ist ${}y-x>0$ und daher nach (5) ${}\exp \left(y-x\right)>1$, also

${}\exp y=\exp \left(y-x+x\right)=\exp \left(y-x\right)\cdot \exp x>\exp x\,.$

$\Box$

Mit der Exponentialreihe definieren wir die eulersche Zahl.

Definition

Die reelle Zahl

${}e:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,$

heißt eulersche Zahl.

Diese Zahl hat den Wert

${}e=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\ldots \cong 2,71...\,.$

Bemerkung  

Für die eulersche Zahl gilt

${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,,$

so dass ${}e$ auch als Grenzwert dieser Folge eingeführt werden kann, siehe Fakt *****. Die Konvergenz bei der Exponentialreihe ist aber deutlich schneller.

Statt ${}\exp x$ werden wir in Zukunft auch ${}e^{x}$ schreiben.

Satz

Die reelle Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

ist stetig und stiftet eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} _{+}$.

Beweis

Die Stetigkeit folgt aus Satz 17.2, da die Exponentialfunktion ja über eine Potenzreihe definiert ist. Nach Korollar 17.9  (4) liegt das Bild in ${}\mathbb {R} _{+}$ und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Korollar 17.9  (3), woraus wegen Korollar 17.9  (2) folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich ${}\mathbb {R} _{+}$. Die Injektivität ergibt sich aus Korollar 17.9  (6) in Verbindung mit Aufgabe *****.

$\Box$

Logarithmen

Definition

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

Satz

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt

${}\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{+}$.

Beweis

Dies folgt aus Satz 17.12, Satz 16.4, Satz 17.8 und Korollar 17.9  (6).

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Die Exponentialfunktionen für verschiedene Basen

Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ als

${}b^{x}:=\exp(x\ln b)\,.$

Satz

Für die Exponentialfunktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$

gelten die folgenden Rechenregeln

(dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $x,y\in \mathbb {R}$).

1. ${}a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}\,.$

2. ${}a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}\,.$

3. ${}(a^{x})^{y}=a^{xy}\,.$

4. ${}(ab)^{x}=a^{x}b^{x}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 17.7.

$\Box$

Bemerkung  

Die Exponentialfunktionen ${}x\mapsto a^{x}$ zur Basis ${}a>0$ kann man auch anders einführen. Für natürliche Zahlen ${}n\neq 0$ nimmt man das ${}n$-fache Produkt von ${}a$ mit sich selbst, also ${}a^{n}$, als Definition. Für eine negative ganze Zahl ${}x$ setzt man ${}a^{x}:=(a^{-x})^{-1}$. Für eine positive rationale Zahl ${}x=r/s$ setzt man

${}a^{x}:={\sqrt[{s}]{a^{r}}}\,,$

wobei man natürlich die Unabhängigkeit von der gewählten Bruchdarstellung beweisen muss. Für eine negative rationale Zahl arbeitet man wieder mit Inversen. Für eine beliebige reelle Zahl ${}x$ schließlich nimmt man eine Folge ${}q_{n}$ von rationalen Zahlen, die gegen ${}x$ konvergiert, und definiert

${}a^{x}:=\lim _{n\rightarrow \infty }a^{q_{n}}\,.$

Hierzu muss man zeigen, dass diese Limiten existieren und unabhängig von der gewählten rationalen Folge sind. Für den Übergang von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {R}$ ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit entscheidend.

Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

Logarithmen zu verschiedenen Basen

Satz

Die Logarithmen zur Basis ${}b$ erfüllen die folgenden Rechenregeln.

1. Es ist ${}\log _{b}(b^{x})=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis ${}b$ ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 17.8.

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