Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Arbeitsblatt 5
- Übungsaufgaben
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?
Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.
Wer fährt schneller?
Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.
- .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.
- Es ist .
- Aus folgt für alle .
- Aus folgt für ganze Zahlen .
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und seien positive Elemente. Zeige, dass zu äquivalent ist.
Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.
Man untersuche die Verknüpfung
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?
Wie viele Billionstel braucht man, um ein Milliardstel zu erreichen?
Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?
Zeige, dass in die folgenden Eigenschaften gelten.
- Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit .
- Zu zwei reellen Zahlen
gibt es eine rationale Zahl (mit ) mit
Berechne die Gaußklammer
Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn oder ist.
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
- Es ist .
Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Es bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von .
- Berechne
bis das Ergebnis das Nulltupel ist.
- Berechne
bis das Ergebnis das Nulltupel ist.
- Zeige für jedes .
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere
Aufgabe 28.9.
Es seien
Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei ihre Hintereinanderschaltung. Es sei die Anzahl der fallenden Funktionen unter den . Zeige, dass bei gerade wachsend und bei ungerade fallend ist.
Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.
Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.
Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.
Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für
ist
- Es ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.
Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Für ist .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element negativ ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Tipp: Verwende Aufgabe 5.24.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .
Aufgabe (3 Punkte)
Man finde alle drei komplexen Zahlen , die die Bedingung
- Die Aufgabe zum Aufgeben
Lösungen zu dieser Aufgabe zählen unabhängig vom Aufgabenzettel.
Aufgabe (6 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen für nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .
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