Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 19/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie ${}30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch ${}30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion

{}F(x)=\int _{0}^{x}{\sqrt {t^{5}-t^{3}+2t}}\,dt\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ein Körper werde zum Zeitpunkt ${}0$ losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit ${}v(t)$ und die zurückgelegte Strecke ${}s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit ${}t$ . Nach welcher Zeit hat der Körper ${}100$ Meter zurückgelegt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto f(x)$ , eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$ . Zeige, dass ${}F(x-a)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x-a)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto f(x)$ , eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$ . Zeige, dass ${}-F(-x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(-x)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto f(x)$ , eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$ . Zeige, dass ${}F(x)+cx$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)+c$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion zu

{}f(x)=4x^{2}-3x+2\,,

die an der Stelle ${}3$ den Wert ${}5$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

\int _{-1}^{4}3x^{2}-5x+6\,dx.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

\int _{2}^{5}{\frac {x^{2}+3x-6}{x-1}}\,dx.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.

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Es sei ${}a$ die minimale positive Zahl mit ${}\sin a=\cos a$ . Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von ${}[0,a]$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}+3e^{x}-\sin x,

über ${}[-1,0]$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${}{\sqrt {x}}$ für ${}x\in [1,4]$ . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von ${}1$ und ${}4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von ${}1$ und der Wurzel von ${}4$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung

{}{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\leq \ln 2\,

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ auf dem Intervall ${}[1,2]$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, für welche ${}a\in \mathbb {R}$ die Funktion

a\longmapsto \int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

[8,18]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=-x^{2}+25x-100,

beschrieben. Dabei ist ${}x$ die Zeit in Stunden und ${}y=f(x)$ ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

h(x)=\int _{0}^{g(x)}f(t)\,dt

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die durch

a_{n}:=\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}f(t)\,dt

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe mit ${}a_{n}\in [0,1]$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{a_{n}}f(x)dx

absolut konvergent ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf ${}[a,b]$ mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in [a,b]$ . Man zeige: Ist ${}f$ stetig in einem Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)>0$ , dann gilt