Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 5/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.
Wer fährt schneller?
Aufgabe Aufgabe 5.5 ändern
Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.
- .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen sind. Dagegen gilt bei ihnen
für jede rationale Zahl . Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die als heilig verehren.
Zeige, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt.
- Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
- Aus und folgt (für beliebige ).
- Aus und folgt .
- Aus und folgt .
Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt nicht?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.
- Es ist .
- Aus folgt für alle .
- Aus folgt für ganze Zahlen .
Aufgabe * Aufgabe 5.8 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.
Aufgabe Aufgabe 5.9 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.
Aufgabe Aufgabe 5.10 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.
Aufgabe Aufgabe 5.11 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und seien positive Elemente. Zeige, dass zu äquivalent ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das das arithmetische Mittel aus zwei vorgegebenen nichtnegativen rationalen Zahlen berechnet.
- Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
- Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
- Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
- Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
- Es gibt einen Haltebefehl.
Die Anfangskonfiguration sei
mit . Dabei sind und die rationalen Zahlen, von denen das arithmetische Mittel berechnet werden soll. Das Ergebnis soll ausgedruckt werden (in der Form Zähler Nenner) und anschließend soll das Programm anhalten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man untersuche die Verknüpfung
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wie viele Billionstel braucht man, um ein Milliardstel zu erreichen?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?
Aufgabe * Aufgabe 5.20 ändern
Zeige, dass in die folgenden Eigenschaften gelten.
- Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit .
- Zu zwei reellen Zahlen
gibt es eine rationale Zahl (mit ) mit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Gaußklammer
Aufgabe Aufgabe 5.22 ändern
Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn oder ist.
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
- Es ist .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien reelle Zahlen. Zeige durch Induktion die Abschätzung
Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Es bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von .
- Berechne
bis das Ergebnis das Nulltupel ist.
- Berechne
bis das Ergebnis das Nulltupel ist.
- Zeige für jedes .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
Aufgabe * Aufgabe 5.26 ändern
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen für nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .
Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere
Aufgabe 28.10.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Abbildung
ist streng wachsend.
- Die Abbildung
ist bei ungerade streng wachsend.
- Die Abbildung
ist bei gerade streng fallend.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien
Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei ihre Hintereinanderschaltung. Es sei die Anzahl der fallenden Funktionen unter den . Zeige, dass bei gerade wachsend und bei ungerade fallend ist.
Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Aufgabe * Aufgabe 5.31 ändern
Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.
Aufgabe * Aufgabe 5.33 ändern
Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für
ist
- Es ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.
Aufgabe * Aufgabe 5.34 ändern
Zeige, dass für eine komplexe Zahl die folgenden Beziehungen gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
Aufgabe Aufgabe 5.35 ändern
Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.
- Es ist .
- Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Für ist .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 5.36 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element negativ ist.
Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 5.37 ändern
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Tipp: Verwende Aufgabe 5.26.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 5.40 ändern
Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man finde alle drei komplexen Zahlen , die die Bedingung