Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 48/kontrolle
- Übungsaufgaben
Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden, außer bei Aufgabe 48.15 bis Aufgabe 48.19 und bei Aufgabe 48.24 und Aufgabe 48.25.
Es sei eine total differenzierbare Abbildung mit für alle . Zeige, dass konstant ist.
Kommentar:
Wir wollen beweisen, dass die Funktion auf konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt eine kleine Umgebung zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in mit dem eines beliebig Punktes übereinstimmt. lässt sich schreiben als für ein . Da überall total differenzierbar ist, mit , folgt mit Proposition 48.9, dass in Richtung differenzierbar ist mit Richtungsableitung . Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen und machen. Betrachten wir nun nur auf diesem Verbindungsstück, erhalten wir die differenzierbare Kurve
deren Ableitung konstant Null ist. Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe Lemma 37.5. Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes, Satz 15.5 die Gleichheit der Komponenten von an Anfangs und Endpunkt der Kurve zeigen.
Wir betrachten die Funktion
- Man schreibe als
mit geeigneten Termen , wobei und nicht von und abhängen dürfen.
- Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass in einem beliebigen Punkt total differenzierbar ist.
Wir betrachten die Funktion
- Skizziere die Funktion.
- Zeige, dass stetig ist.
- Bestimme für jeden Punkt und jede Richung , ob die Richtungsableitung in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
- Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion total differenzierbar ist.
Es sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung
gilt.
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass im Nullpunkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
Kommentar:
Da wir es hier mit einer polynomialen Funktion zu tun haben, hat die Form
wobei nur endlich viele der ungleich Null sind. Nach Korollar 48.13 sind diese total differenzierbar und nach Bemerkung 48.10 stimmt das totale Differential mit der Jacobi-Matrix überein.
Wir betrachten ein einfaches Beispiel in zwei Variablen. Sei . Die Jacobi-Matrix ist dann durch gegeben und ist insbesondere im Punkt gleich . Wegen der Definition der Differenzierbarkeit lässt sich , mit aus einer Umgebung von , schreiben als
Nach einsetzen aller bekannten Größen, erhalten wir
Falls ist liefert Auflösen nach
Dass diese Funktion in stetig fortgesetzt werden kann und dort auch gleich Null ist, folgt direkt aus der obigen Gleichung, da total differenzierbar und in Null stetig ist. Wir sehen also, dass die Funktion die Terme des Polynoms mit Grad größer als beinhaltet und zusätzlich durch dividiert wird. Der affin lineare Teil des Polynoms (Terme vom Grad kleiner oder gleich ) werden durch die ersten beiden Summanden der linearen Approximation abgedeckt.
Für ein allgemeines Polynom folgt das Ganze auf gleicher Art und Weise.
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass in jedem Punkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
Es seien , und endlichdimensionale - Vektorräume.
- Es seien
und
-
lineare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
-linear ist.
- Es seien
und
im Punkt
differenzierbare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
- Es ist (reflexiv).
- Aus folgt (symmetrisch).
- Aus und folgt (transitiv).
Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Weiter seien Abbildungen und . Wir nennen im Punkt tangential äquivalent, wenn der Limes
existiert und gleich ist.
- Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von nach gegeben ist.
- Es sei total differenzierbar. Zeige, dass zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
- Es seien und tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall genau dann in total differenzierbar ist, wenn dies für gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt übereinstimmen.
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation
in jedem Punkt total differenzierbar ist mit
Kommentar:
Wir können in eine Basis festlegen und in dem zugehörigen Koordinatenraum mit dem Standardskalarprodukt arbeiten. Wir betrachten also die Skalarmultiplikation in der Form
Wir zeigen die Differenzierbarkeit über die Definition. Damit es einfacher aufzuschreiben ist, fassen wir wieder die 2. bis letzte Koordinate in einem Vektor zusammen. Für die Differenzierbarkeit im Punkt müssen wir die lineare Approximierbarkeit zeigen. Das heißt wir müssen zeigen, dass für aus einer kleinen Umgebung von eine lineare Abbildung und eine in Null stetige Abbildung mit existieren, sodass
gilt. Dazu schauen wir uns einfach einmal genauer an. Wir erhalten nach Einsetzen der Funktionsvorschrift
dabei werden rechts skalarmultiplizierte Vektoren aufaddiert. Jetzt sammeln wir die entsprechenden Ausdrücke. Der erste Summand kann direkt als Funktionswert in identifiziert werden, also . Des Weiteren ist schon in der Aufgabenstellung suggeriert, dass sein wird. Es muss noch gezeigt werden, dass dies eine lineare Funktion ist. Die Funktion müssen wir dann in dem Term finden. Da noch ins Spiel kommen muss, erweitern wir mit dieser Norm und erhalten , falls ist. Nun ist zu zeigen, dass dieses gegen Null geht für gegen Null, denn dann kann es dort mit Null stetig fortgesetzt werden und hat die gewünschten Eigenschaften.
Dazu nutzen wir, dass im gegen Null geht, wenn gegen Null geht. Dieses geht wiederum gegen Null, weil
Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass in einer Umgebung von
wobei und die nötigen Eigenschaften besitzen. Da der Punkt bei obiger Betrachtung beliebig war, ist die Skalarmultiplikation insgesamt differenzierbar. Es ist zu sehen, dass der Beweis der Differenzierbarkeit mit Hilfe der Definition recht mühsam sein kann. Das Benutzen von Satz 48.11 ist in der Regel zu bevorzugen.
Wir betrachten die Funktion
mit
a) Zeige, dass stetig ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.
d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
Wir betrachten die Abbildung
- Was ist der Definitionsbereich dieser Abbildung?
- Berechne die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
- Ist die Funktion total differenzierbar?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge, eine Abbildung und eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
- ist differenzierbar in mit dem totalen Differential .
-
Der
Limes
existiert und ist gleich .
- Der Limes
existiert und ist gleich .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für die Funktion
für jeden Punkt und jede Richtung , ob die Richtungsableitung in in Richtung existiert und ob die Funktion in total differenzierbar ist.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.