Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 47

Partielle Ableitungen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ eine durch

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index ${}i$ die übrigen Variablen ${}x_{j}$, ${}j\neq i$, als Konstanten, so erhält man eine Abbildung ${}\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die nur von ${}x_{i}$ abhängt (entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter). Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass ${}f$ partiell differenzierbar bezüglich ${}x_{i}$ ist und bezeichnen diese Ableitung mit ${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$. Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von ${}\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.

Definition

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$

gegeben. Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ ein Punkt. Für fixierte Indizes ${}i$ und ${}j$ betrachten wir die Abbildung

$I\longrightarrow {\mathbb {R} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

(wobei ${}I$ ein reelles Intervall mit

${}a_{i}\in I$ derart sei, dass ${}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${}a_{k}$, ${}k\neq i$, fixiert seien. Ist diese Funktion in ${}a_{i}$ differenzierbar, so heißt ${}f_{j}$ partiell differenzierbar in ${}P$ bezüglich der Koordinate ${}x_{i}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${}{\mathbb {R} }$ ist) mit

${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$

und nennt sie die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f_{j}$ in ${}P$.

Die Abbildung ${}f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt ${}P$, falls für alle ${}i$ und ${}j$ die partiellen Ableitungen in ${}P$ existieren. Die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f$ in ${}P$ wird mit

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,$

bezeichnet.

Diese Definition führt die ${}i$-te partielle Ableitung einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen „festgehalten“ und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der ${}i$-ten partiellen Ableitung von ${}f$ im Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ einfach die Existenz des Limes

$\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+s,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{s}}.$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}}.$

Um die partielle Ableitung nach ${}x$ (in jedem Punkt) zu berechnen, betrachtet man ${}y$ als eine Konstante, sodass eine nur von ${}x$ abhängige Funktion dasteht. Diese wird gemäß den Ableitungsregeln für Funktionen in einer Variablen abgeleitet, sodass sich

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {y^{3}(x^{2}+y^{2})-xy^{3}(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}y^{3}+y^{5}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}}\,$

ergibt. Für die partielle Ableitung nach ${}y$ betrachtet man ${}x$ als eine Konstante und erhält

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {3xy^{2}(x^{2}+y^{2})-xy^{3}(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {3x^{3}y^{2}+xy^{4}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}}\,.$

Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein ${}\mathbb {R} ^{n}$ betrachtet wird.

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

eine Abbildung.

Dann ist ${}f$ in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

In diesem Fall stimmt die ${}i$-te partielle Ableitung ${}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ von ${}f$ in ${}P$ mit der Richtungsableitung ${}{\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}$ von ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung des ${}i$-ten Standardvektors ${}e_{i}$ überein, und ${}f$ ist in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

Beweis

Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. Wir können uns wegen Lemma 46.6 auf eine einzige Komponentenfunktion ${}f_{j}$ beschränken. Da partielle Ableitungen die Ableitungen von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+s,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(P+se_{i})-f_{j}(P)}{s}}\\&={\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}.\,\end{aligned}}$

$\Box$

Definition

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

gegeben. Dann heißt ${}f$ partiell differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt ${}P\in G$ partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,P\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)},$

die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f$.

Definition

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

gegeben, die in ${}P\in G$ partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix

${}\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Jacobi-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung ${}f\colon {\mathbb {R} }^{3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$, die durch

$(x,y,z)\longmapsto {\left(xy^{2}-z^{3},\sin(xy)+x^{2}\cdot \exp z\right)}=(f_{1}(x,y,z),f_{2}(x,y,z))$

gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von ${}f_{1}$ sind

${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y^{2},\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=2xy,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}=-3z^{2},$

und die partiellen Ableitungen von ${}f_{2}$ sind

${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos(xy)+2x\cdot \exp z,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cdot \cos(xy),\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}=x^{2}\cdot \exp(z).$

Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt ${}P=(x,y,z)$ die Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}y^{2}&2xy&-3z^{2}\\y\cos(xy)+2x\exp(z)&x\cos(xy)&x^{2}\exp(z)\end{pmatrix}}.$

Für einen speziellen Punkt, z.B. ${}P=(2,1,3)$, setzt man einfach ein:

${\begin{pmatrix}1&4&-27\\\cos(2)+4\exp(3)&2\cos(2)&4\exp(3)\end{pmatrix}}.$

Höhere Richtungsableitungen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}\mathbb {R}$-Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow W$ und einen fixierten Vektor ${}v\in V$ ist die Richtungsableitung in Richtung ${}v$ (falls diese existiert) selbst eine Abbildung

$D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}.$

Als solche ist es sinnvoll zu fragen, ob ${}D_{v}f$ in Richtung ${}u\in V$ differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume,

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in ${}V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert. Sie wird mit

$D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$

bezeichnet.

Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy-y^{3},$

in Richtung ${}v=\left(4,\,-1\right)$. Zu einem Punkt ${}P=(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ müssen wir die Funktion

$p\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(P+tv),$

nach ${}t$ im Nullpunkt ableiten. Es ist

${}{\begin{aligned}p(t)&=f(P+tv)\\&=(x+4t)^{2}-(x+4t)(y-t)-(y-t)^{3}\\&=x^{2}+8xt+16t^{2}-xy-4ty+xt+4t^{2}-y^{3}+3y^{2}t-3yt^{2}+t^{3}\\&=x^{2}-xy-y^{3}+9xt-4ty+3y^{2}t+20t^{2}-3yt^{2}+t^{3}.\end{aligned}}$

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}p'(0)=9x-4y+3y^{2}\,,$

also ist

${}g(x,y):=(D_{v}f)(x,y)=9x-4y+3y^{2}\,.$

Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung ${}u=\left(2,\,-3\right)$ ausrechnen. Es ist

${}{\begin{aligned}q(t)&:=g(P+tu)\\&=9(x+2t)-4(y-3t)+3(y-3t)^{2}\\&=9x-4y+3y^{2}+18t+12t-18yt+27t^{2}.\end{aligned}}$

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}q'(0)=30-18y\,,$

also ist

${}(D_{u}g)(x,y)=(D_{u}(D_{v}f))(x,y)=30-18y\,.$

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume und

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}n$ Vektoren aus ${}V$ die höhere Richtungsableitung

$D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$

in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.

Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung ${}D_{v}f$ in jede Richtung ${}v\in V$ existiert und stetig ist.

Polynomfunktionen sind beliebig oft stetig differenzierbar, siehe Aufgabe 47.11.

Auch partielle Ableitungen kann man wie Richtungsableitungen hintereinanderausführen. Dies führt zu Schreibweisen wie

${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f$

und ähnliche.

Der Satz von Schwarz

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{4}-x^{3}y+5xy^{2}+2y^{3}.$

Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=4x^{3}-3x^{2}y+5y^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=-x^{3}+10xy+6y^{2}.$

Diese Funktionen sind selbst wiederum partiell differenzierbar, und wir berechnen

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}={\frac {\partial }{\partial y}}{\left(4x^{3}-3x^{2}y+5y^{2}\right)}=-3x^{2}+10y\,$

und

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}={\frac {\partial }{\partial x}}{\left(-x^{3}+10xy+6y^{2}\right)}=-3x^{2}+10y\,.$

Die beiden zweiten partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f$ und ${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f$ stimmen also überein.

In diesem Beispiel zeigt sich ein allgemeiner Sachverhalt, der Satz von Schwarz (oder auch Satz von Clairaut) heißt.

Satz

Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}{\left(D_{v}D_{v}\varphi \right)}{\left(u\right)}$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von ${}\varphi$ bezüglich einer Basis von ${}W$ können wir annehmen, dass ${}W={\mathbb {K} }$ und ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ ist. Wir wollen den eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden. Sei ${}P\in G$ ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung ${}(s,t)\mapsto \varphi (P+su+tv)$ und studieren diese für hinreichend kleine ${}s$ und ${}t$. Wir fixieren diese (für den Moment) und betrachten die differenzierbare Abbildung

$\sigma \longmapsto \varphi (P+\sigma u+tv)-\varphi (P+\sigma u).$

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein (von ${}s$ und ${}t$ abhängiges) ${}s_{1}\in {]0,s[}$ mit

$\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=s\cdot ({\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)})\,.$

Nun wenden wir erneut den Mittelwertsatz auf die differenzierbare Abbildung

$\tau \longmapsto {\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+\tau v\right)}$

an, und erhalten die Existenz eines ${}t_{1}\in {]0,t[}$ mit

${\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)}=t\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$

Zusammen erhalten wir

$\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=st\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$

Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir ${}s_{2}$ und ${}t_{2}$, sodass dieser Ausdruck auch gleich

$st\cdot {\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}$

ist. Somit schließen wir für (hinreichend kleine) gegebene ${}s,t>0$, dass positive ${}s_{1},s_{2}\leq s$ und ${}t_{1},t_{2}\leq t$ existieren mit

${}{\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}\,.$

Für ${}s\rightarrow 0$ und ${}t\rightarrow 0$ konvergieren auch ${}s_{1},s_{2},t_{1}$ und ${}t_{2}$ gegen ${}0$. Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für ${}s,t\rightarrow 0$ die Gleichheit

${}{\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}\,.$

$\Box$

 

Korollar

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine ${}n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von ${}n$ Vektoren aus ${}V$.

Dann gilt für jede Permutation ${}\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit

${}D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi ))=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi ))\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 47.17.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung derart, dass für ${}1\leq i,j\leq n$ die zweiten partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}f$ und ${}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}f={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f\,.$

Beweis

Des folgt aus Satz 47.11 und Lemma 47.3.

$\Box$

${}\,$

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