Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 56/latex
\setcounter{section}{56}
Wir haben schon für verschiedene Differentialgleichungen gezeigt, dass eine Lösung existiert und durch eine Anfangswertbedingung eindeutig bestimmt ist. Der \stichwort {Satz von Picard-Lindelöf} {} beweist dies recht allgemein unter der Voraussetzung, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
\zwischenueberschrift{Lipschitz-Bedingung}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RLipschitz.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Rudolf Lipschitz (1832-1903)} }
\bildlizenz { RLipschitz.jpeg } {} {Ahellwig} {Commons} {PD} {}
Für den Satz von Picard-Lindelöf wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer \definitionswort {Lipschitz-Bedingung}{} genügt, wenn es eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,u)-f(t,v)} \Vert
}
{ \leq} { L \cdot \Vert {u-v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u ,v
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Die reelle Zahl $L$ nennt man auch eine \stichwort {Lipschitz-Konstante} {} für das Vektorfeld $f$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ \definitionswort {lokal}{} einer \definitionswort {Lipschitz-Bedingung}{} genügt, wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t,v)
}
{ \in }{ I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t,v)
}
{ \in} { I' \times U'
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass das auf
\mathl{I' \times U'}{} eingeschränkte Vektorfeld einer
\definitionsverweis {Lipschitz-Bedingung}{}{}
genügt.
}
Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {\R^n
} { (t,v_1 , \ldots , v_n)} { f(t,v_1 , \ldots , v_n)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$ derart,}
\faktvoraussetzung {dass die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
nach $v_j$ existieren und
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.}
\faktfolgerung {Dann genügt $f$
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (t,v)
}
{ = }{ (t,v_1 , \ldots , v_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt in
\mathl{I \times U}{} und sei
\mathdisp {U { \left( t,\epsilon \right) } \times U { \left( v,\epsilon \right) }} { }
eine offene Umgebung von $P$ innerhalb von
\mathl{I \times U}{} derart, dass auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { B \left( t,\epsilon \right) \times B \left( v,\epsilon \right)
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dieses $B$ ist eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Umgebung}{}{}
von $P$ und daher
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Da die partiellen Ableitungen
\mathl{{ \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } }}{} nach Voraussetzung
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind, gibt es nach
Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eine gemeinsame Schranke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q)} \Vert
}
{ \leq} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gibt es für die Matrizen
\mathl{{ \left( { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q) \right) }_{1 \leq i,j \leq n}}{} eine Schranke $L$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \left( { \frac{ \partial f_i }{ \partial v_j } } (Q) \right) }_{1 \leq i,j \leq n} } \Vert
}
{ \leq} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ U { \left( t,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Fakt *****
anwenden und erhält für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,u'
}
{ \in }{ U { \left( v,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(s,u)-f(s,u')} \Vert
}
{ \leq} { L \cdot \Vert { u - u'} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für ein lineares Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { A(t) v + z(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer stetigen Matrix $A(t)$ sind die Bedingungen der vorstehenden Aussage erfüllt. Die $i$-te Komponente des Vektorfelds besitzt ja die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_i(t, v_1 , \ldots , v_n)
}
{ =} { a_{i 1}(t)v_1 + \cdots + a_{i n}(t)v_n +z_i(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt, dass $f_i$ nach $v_j$ partiell ableitbar ist mit der stetigen Ableitung
\mathl{a_{ij}(t)}{,} so dass die Bedingungen erfüllt sind.
\zwischenueberschrift{Differential- und Integralgleichungen}
Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve, das wir in Vorlesung 36 eingeführt haben, kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.
\inputfaktbeweis
{Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben.}
\faktfolgerung {Dann ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {v} {J} {U
} {t} {v(t)
} {,}
auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{
\zusatzklammer {insbesondere muss $v$ differenzierbar sein} {} {}}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { , }
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t_0)
}
{ =} { w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aufgrund
des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(t)
}
{ = }{ f(t,v(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist.}
{}\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(s)
}
{ = }{ f(s,v(s))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } v'(s) \, d s
}
{ =} { w+ v(t)-v(t_0)
}
{ =} { v(t)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Picard-Lindelöf}
Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sei und
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genüge.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{ I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
\mathbed {J} {mit}
{t_0 \in J \subseteq I} {}
{} {} {} {}
derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige
\definitionsverweis {Lösung für das Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { }
existiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 56.4
ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {v} {J} {V
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{,}
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des
Banachschen Fixpunktsatzes
dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung
\zusatzklammer {man spricht von einem \stichwort {Funktional} {}} {} {}
\mathdisp {\psi \longmapsto (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )} { }
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$
\zusatzklammer {aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$} {} {.}
Die Fixpunkteigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H(\psi)
}
{ = }{ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet gerade, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(t)
}
{ = }{ w + \int_{t_0}^t f(s, \psi(s)) ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
und das Funktional als
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{}
nachweisen.
\teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in} { J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,v)-f(t, \tilde{v}) } \Vert
}
{ \leq} { L \Vert {v - \tilde{v}} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {t \in J'} {und} {v,\tilde{v} \in U { \left( w,\epsilon \right) }} {.}
Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von
\mathl{J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }}{,} also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in
\mathl{I \times U}{} liegt. Aufgrund von
Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {\Vert {f(t,v)} \Vert \leq M \text { für alle } (t,v) \in J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }} { }
\zusatzklammer {da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt} {} {.}
Wir ersetzen nun $J'$ durch ein kleineres Intervall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J
}
{ =} { [t_0- \delta,t_0+ \delta ]
}
{ \subseteq} { J'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ \epsilon/M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ 1/(2L)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{C
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi(t)- w} \Vert \leq \epsilon \text { für alle } t \in J \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi- w} \Vert \leq \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei wird also $C$ mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach
Fakt *****
und nach
Aufgabe *****
wieder ein vollständiger metrischer Raum.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung
\maabbeledisp {H} {C} {C
} {\psi} {H(\psi) = (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )
} {.}
Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass
\mathl{H(\psi)}{} wieder zu $C$ gehört. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aber nach
Satz 39.1
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { H( \psi)(t) - w} \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi(s)) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { {{op:Betrag \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {f(s,\psi(s))} \Vert \, d s }}
}
{ \leq} { \betrag { t-t_0 } M
}
{ \leq} { \frac{ \epsilon}{M} M
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
und
\mathl{H(\psi)}{} ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_1, \psi_2
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert { H(\psi_1)(t)- H(\psi_2)(t) } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_1(s)) \, d s - \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_2(s)) \, d s } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } (f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert { f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } L \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \betrag { t-t_0 } \cdot \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert
}
{ \leq} { \frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert
}
}
{}{.}
Da dies für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { H(\psi_1)- H(\psi_2) } \Vert
}
{ \leq} {\frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. es liegt eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung
\maabb {v} {J} {V
} {} gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{t_0}^t f(s,v(s)) ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.}
{}
\zwischenueberschrift{Die Picard-Lindelöf-Iteration}
Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf, den wir nicht vorgeführt haben, läuft über die äquivalente Integralgleichung und ist prinzipiell kontruktiv. Darauf beruht die \stichwort {Picard-Lindelöf-Iteration} {,} mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {F} {I\times U} {V
} {(t,v)} {F(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{ I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sei und
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genüge. In der \stichwort {Picard-Lindelöf-Iteration} {} definiert man iterativ eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von Funktionen
\maabbdisp {\varphi_n} {I} {V
} {}
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_0
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert $w$} {} {}
und durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{n+1} (t)
}
{ =} { w + \int_{t_0}^t F(s, \varphi_n(s)) ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es ein Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {]a,b[}
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{{]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Folge
\mathl{\varphi_n(t)}{} gegen einen Punkt
\mathl{\varphi(t)}{} konvergiert
\zusatzklammer {man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert; es gelten hier auch stärkere Konvergenzaussagen} {} {.}
Diese Grenzfunktion $\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { . }
Bei einer
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz $I$.
}
Wir wenden dieses Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen \zusatzklammer {siehe Aufgabe 33.11} {} {.}
\inputbeispiel{}
{
Wir wenden die
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
auf die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} {F(t,y)
}
{ =} {ty
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(0)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an
\zusatzklammer {die Lösung ist \mathlk{e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}}{}} {} {.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die erste Iteration liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1 (t)
}
{ =} { 1 + \int_0^t s ds
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zweite Iteration liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi_2 (t)
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, \varphi_1(s) \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } s^2 \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t s+ { \frac{ 1 }{ 2 } } s^3 ds
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } t^4
}
}
{}
{}{.}
Die dritte Iteration liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi_3 (t)
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, \varphi_2(s) \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s,1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } s^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } s^4 \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t s+ { \frac{ 1 }{ 2 } } s^3 + { \frac{ 1 }{ 8 } } s^5 ds
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } t^4 + { \frac{ 1 }{ 48 } } t^6
}
}
{}
{}{.}
Dabei stimmt die $i$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung $2i$ der Lösung überein.
}
\zwischenueberschrift{Zur Eindeutigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen}
Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen lokal, also auf einem gewissen Teilintervall, eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung gibt. Die folgende Aussage zeigt, dass eine Lösung dort, wo sie definiert ist, eindeutig bestimmt ist. Wir verwenden die folgende Zusammenhangseigenschaft eines reellen Intervalls $J$, die aus dem Zwischenwertsatz folgt: Eine nichtleere Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, muss gleich ganz $J$ sein.
\inputfaktbeweis
{Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$}
\faktvoraussetzung {das
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genügt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offenes Teilintervall und es seien
\maabbdisp {v_1,v_2} {J} {V
} {}
\definitionsverweis {Lösungen des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v' = f(t,v) \text{ und } v(t_0) = w} { . }
}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ t \in J \mid v_1(t) = v_2(t) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist diese Menge nicht leer.
\teilbeweis {}{}{}
{Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nach
Satz 56.5
eine offene Intervallumgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{J'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
worauf es zu gegebener Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ = }{ v_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1(t)
}
{ = }{ v_2(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher stimmen
\mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {}
in einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{J'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J'
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass $M$ eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge von $J$ ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Andererseits sind
\mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und daher ist nach
Aufgabe 36.15
die Menge $M$ auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $J$.}
{}
Da ein Intervall
nach Satz . \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das folgende Beispiel zeigt, dass ohne die Lipschitz-Bedingung die Lösung eines Anfangswertproblems nicht eindeutig bestimmt ist. In diesem Beispiel ist das Vektorfeld nach $v$ ableitbar, die Ableitung ist aber nicht stetig, so dass
Lemma 56.3
nicht anwendbar ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v' = 3v^{2/3} \text{ mit } v(0) = 0} { }
zum
\definitionsverweis {zeitunabhängigen Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {v} {3 v^{2/3} = 3 \sqrt[3]{v^2}
} {.}
Offensichtlich gibt es die
\definitionsverweis {stationäre Lösung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
aber auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(t)
}
{ =} { t^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
reelle Zahlen. Dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ =} { \begin{cases} (t-a)^3 \text{ für } t < a, \\ 0 \text{ für } a \leq t \leq b , \\ (t-b)^3 \text{ für } t > b, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange
\zusatzklammer {im Zeitintervall von
\mathkork {} {a} {nach} {b} {}} {} {}
ruht und danach
\zusatzklammer {und davor} {} {}
sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt $\neq 0$ befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt.
}
\inputbemerkung
{}
{
Zu einem stetigen Vektorfeld
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
kann man sich fragen, ob es ein maximales Definitionsintervall $J$ für die Lösung eines Anfangswertproblems
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { }
gibt. Dies ist in der Tat der Fall, wenn das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt! Man kann nämlich alle Teilmengen
\mathdisp {J \subseteq I \text{ offen },\, t_0 \in J, \, \text{ es gibt eine L}\ddot{o}\text{sung } v_J \text{ auf } J} { }
betrachten. Wegen
Satz 56.8
stimmen zwei Lösungen
\mathkor {} {v_J} {und} {v_{J'}} {}
auf dem Durchschnitt
\mathl{J \cap J'}{} überein, und liefern daher eine eindeutige Lösung auf der Vereinigung
\mathl{J \cup J'}{.} Daher enthält die Menge der Teilintervalle, auf denen eine Lösung definiert ist, ein maximales Teilintervall $J$.
Dieses Teilintervall kann kleiner als $I$ sein. Die Grenzen des maximalen Teilintervalls, auf dem eine Lösung definiert ist, heißen auch
\definitionswortenp{Entweichzeiten}{.}
}