Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

1. $\cosh x+\sinh x=e^{x}.$

2. $\cosh x-\sinh x=e^{-x}.$

3. $(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=1.$

Aufgabe

Zeige, dass in der Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten ${}c_{n}$ für ungerades ${}n$ gleich ${}0$ sind.

Aufgabe *

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf ${}\mathbb {R}$ streng wachsend ist.

Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

${}\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,.$

b)

${}\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,.$

Aufgabe

Zeige, dass der Tangens hyperbolicus die Abschätzungen

$-1\leq \tanh x\leq 1{\text{ für alle }}x\in \mathbb {R}$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei

${}P=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}\in \mathbb {R} [X]\,$

ein Polynom. Zeige, dass ${}P$ genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn ${}a_{k}=0$ für alle geraden Indizes ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von ${}f$, ob ${}f$ eine gerade Funktion ist?

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von ${}f$, ob ${}f$ eine ungerade Funktion ist?

Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei geraden Funktionen wieder gerade und die Summe von zwei ungeraden Funktionen wieder ungerade ist. Kann man etwas über die Summe von einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion aussagen?

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei geraden Funktionen wieder gerade, das Produkt von zwei ungeraden Funktionen gerade und das Produkt von einer geraden und einer ungeraden Funktion ungerade ist.

Aufgabe

Zeige, dass es genau eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ gibt, die sowohl gerade als auch ungerade ist.

Aufgabe

Zeige, dass man jede stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

als ${}f=g+h$ mit einer stetigen geraden Funktion ${}g$ und einer stetigen ungeraden Funktion ${}h$ schreiben kann.

Aufgabe

Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis

${}E={\left\{(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,?$

Aufgabe

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.

Aufgabe

Wir betrachten den rationalen Einheitskreis

${}E={\left\{(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

und die Gerade

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}\mid x+y=0\right\}}\,.$

1. Bestimme die Schnittpunkte ${}E\cap G$.
2. Wie sieht es aus, wenn man statt ${}\mathbb {Q}$ die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ nimmt?
3. Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat?
4. Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz?

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}2y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,2)$ und den Radius ${}5$ gegeben ist.

Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe *

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,r\in \mathbb {R}$, ${}r>0$, und sei

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}\,$

der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}M=(a,b)$ und dem Radius ${}r$. Es sei ${}G$ eine Gerade in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass es auf ${}G$ mindestens einen Punkt ${}P$ gibt mit ${}d(M,P)\leq r$. Zeige, dass ${}K\cap G\neq \emptyset$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten einen Kreis (mit Radius ${}1$) und darin eingeschriebene regelmäßige ${}n$-Ecke.

1. 

   In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

2. 

   In den Kreis sei ein regelmäßiges ${}6$-Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

3. Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?

Aufgabe *

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,$

gelten, wobei ${}a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.

Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.

Aufgabe *

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) ${}\ell =1,2$ verlaufen und eine Sprunghöhe von ${}h=0,2$ erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel ${}\alpha$ erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu ${}z^{6}$ in der Produktreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.

Aufgabe

Berechne

${\left(1-{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{24}}X^{4}\right)}^{2}+{\left(X-{\frac {1}{6}}X^{3}+{\frac {1}{120}}X^{5}\right)}^{2}.$

Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?

Aufgabe

Zeige ${}-1\leq \sin x\leq 1$ und ${}-1\leq \cos x\leq 1$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe *

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}$

konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf ${}\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ streng wachsend ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}3y-4x+2=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,5)$ und den Radius ${}7$ gegeben ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten den Einheitskreis, also

${}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

Wir setzen ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}P_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und definieren rekursiv die Folge ${}P_{n}$ (in der Ebene) durch

${}Q_{n}={\frac {1}{2}}{\left(P_{0}+P_{n-1}\right)}\,$

(d.h. ${}Q_{n}$ ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen ${}P_{0}$ und ${}P_{n-1}$) und ${}P_{n}$ ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch ${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}Q_{n}$ mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen ${}d_{n}=d(P_{0},P_{n})$ als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen ${}P_{0}$ und ${}P_{n}$ und somit

${}x_{n}=2^{n}d_{n}\,$

als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens (also von ${}\pi$). Da in der Berechnung der Punkte ${}P_{n}$ und der Längen ${}d_{n}$ Quadratwurzeln (Satz des Pythagoras) auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine Folge ${}y_{n}$ von Approximationen (${}n\geq 1$) für ${}x_{n}$ berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von ${}y_{n}$ sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von ${}x_{n}$ irgendwo eingehen, mit ${}n$ Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert ${}1$ berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von ${}y_{n}$ erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für ${}P_{2},\ldots ,P_{n}$ bestimmt.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.

• Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).

• Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.

• Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ${}\neq 0$) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.

• Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.

• Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.

Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen ${}y_{1},y_{2},y_{3},...$ ausgeben.

(Es ist ${}y_{1}=3$ und ${}y_{2}={\frac {58540996}{19126309}}=3,060757619...$. Es wird nicht behauptet, dass die Folge ${}y_{n}$ wirklich gegen ${}\pi$ konvergiert).

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Additionstheorem

${}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,$

für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}:={\frac {5\sin ^{3}n-6n^{4}+13n^{2}+{\left(\sin n\right)}{\left(\cos \left(n^{2}\right)\right)}}{7n^{4}-5n^{3}+n^{2}\sin ^{2}\left(n^{3}\right)-\cos n}}\,$

in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}n$ komplexe Zahlen ${}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ in der Kreisscheibe ${}B$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$, also in ${}B={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 1\right\}}$, gegeben. Zeige, dass es einen Punkt ${}w\in B$ mit der Eigenschaft

${}\sum _{i=1}^{n}\vert {z_{i}-w}\vert \geq n\,$

gibt.