Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+5\,$

in den Punkten ${}1$ und ${}3$.

Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Graph durch die beiden Punkte ${}(2,5)$ und ${}(4,9)$ verläuft.

Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+3,$

in einem beliebigen Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine gerade Funktion, die im Punkt ${}x$ differenzierbar sei. Zeige, dass ${}f$ auch im Punkt ${}-x$ differenzierbar ist und dass die Beziehung

${}f'(-x)=-f'(x)\,$

gilt.

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

für jedes ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$ genau dann einen Grad ${}\leq d$ besitzt (oder ${}P=0$ ist), wenn die ${}(d+1)$-te Ableitung von ${}P$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe

Bestimme zu einem Polynom

${}f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$

die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ${}r(x)$) im Nullpunkt.

Aufgabe

Zeige über eine Betrachtung von Funktionslimiten, dass eine in einem Punkt ${}a\in D$ differenzierbare Funktion ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ in diesem Punkt insbesondere stetig ist.

Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion ${}\exp x$ in jedem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.

Aufgabe

Bestimme zur Exponentialfunktion ${}\exp x$ die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ${}r(x)$) im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n}$

für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe *

Es seien

$g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

differenzierbare Funktionen und

${}f(x):={\frac {g(x)}{h(x)^{n}}}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass man die Ableitung von ${}f$ als einen Bruch mit ${}h(x)^{n+1}$ im Nenner schreiben kann.

Aufgabe *

Es seien

$g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

${}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}f(x)=x^{3}+4x^{2}-1$ und ${}g(y)=y^{2}-y+2$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe *

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-3}{x+2}}$ und ${}g(y)={\frac {y+4}{y^{2}-5}}$. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung ${}h(x):=g(f(x))$.

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

${}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.$

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.$

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)\neq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${}{\left(f\circ f^{-1}\right)}(y)=y\,.$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${}f'{\left(f^{-1}(y)\right)}{\left(f^{-1}\right)}'(y)=1\,.$

Also ist

${}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\,.$

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit der Eigenschaft, dass die Funktion ${}x\mapsto f{\left(\vert {x}\vert \right)}$ differenzierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Graph durch die beiden Punkte ${}(-2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine ungerade differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Ableitung ${}f'$ gerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und seien

$f_{i}\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,i=1,\ldots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${}{\left(\prod _{i=1}^{n}f_{i}\right)}'=\sum _{i=1}^{n}f_{i}'\cdot \prod _{j=1,j\neq i}^{n}f_{j}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion ${}f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1$, die parallel zu ${}y=x$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},$

wobei ${}D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}$ und ${}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}$ und es sei ${}h(x):=g(f(x))$ die Hintereinanderschaltung.

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.