Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,\,{\text{ und }}\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}.$

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

Aufgabe

Es seien ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ und ${}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ , ${}\vert {x}\vert <1$. Bestimme (in Abhängigkeit von ${}x$) die Summen der beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{2k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2k+1}.$

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten ${}c_{i}$ zu den Potenzen ${}x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}$ in der dritten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)}^{3}\,.$

Aufgabe *

Wir betrachten das Polynom

${}P=1+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}\,.$

1. Berechne die Werte von ${}P$ an den Stellen ${}-2,-1,0,1,2$.
2. Skizziere den Graphen von ${}P$ auf dem Intervall ${}[-2,2]$. Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ${}e^{x}$?
3. Bestimme eine Nullstelle von ${}P$ innerhalb von ${}[-2,2]$ mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {1}{4}}$.

Aufgabe

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von

$\exp 1.$

Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

${}{\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\leq {\frac {1}{k!}}\,,$

b)

${}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\leq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=a^{x}\,$

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$. Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

${}s(x+1)=s(x)+1\,.$

Skizziere die Situation.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.

Aufgabe *

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und ${}q=n/m\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die durch

${}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${}q$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}a>0$ und ${}q={\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl. Zeige, dass die Schreibweise

${}a^{q}={\sqrt[{s}]{a^{r}}}\,$

mit der Definition

${}a^{q}=\exp(q\ln a)\,$

verträglich ist.

Aufgabe *

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe

Berechne

$5^{\frac {3}{7}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe *

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Aufgabe

Vergleiche die drei Zahlen

$2^{\sqrt {3}},\,4,\,3^{\sqrt {2}}.$

Aufgabe

Es seien ${}b,d>0$ und ${}d$ fixiert. Zeige

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow 0}\,b^{d}=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}b>0$ fixiert. Zeige

${}\operatorname {lim} _{d\rightarrow 0}\,b^{d}=1\,.$

Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne ${}e^{3}$ mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{1000}}$.

Die Restgliedabschätzung aus Aufgabe 12.29 darf verwendet werden.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Koeffizienten ${}c_{0},c_{1},\ldots ,c_{5}$ der Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$, die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}$ in der vierten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)}^{4}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Für ${}N\in \mathbb {N}$ und ${}x\in \mathbb {R}$ sei

${}R_{N+1}(x)=\exp x-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für ${}\vert {x}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung

${}\vert {R_{N+1}(x)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {x}\vert ^{N+1}\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes ${}d\in \mathbb {N}$ die Folge

${\left({\frac {\exp n}{n^{d}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um ${}10\%$ schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr ${}10\%$ seiner Schlauheit.

1. Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
2. Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.

Aufgabe (2 Punkte)

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Fußnoten