Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 24/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Aufgabe 24.1 ändern
Es sei ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element , , den Hauptdivisor zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist .
- Es ist .
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Zahlbereich und , . Zeige, dass genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor ein effektiver Divisor ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor den „konjugierten Divisor“ . Zeige, dass für , , die Beziehung
gilt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
Berechne den Hauptdivisor zu
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme eine rationale Funktion , die an der Stelle einen Pol der Ordnung , in eine Nullstelle der Ordnung und in einen Pol der Ordnung besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine rationale Funktion . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger
gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich . Zeige, dass
ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.
Aufgabe * Aufgabe 24.12 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Ideal in einem Zahlbereich mit dem zugehörigen effektiven Divisor . Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal
gleich dem zu gehörenden gebrochenen Ideal ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Zahlbereich und es seien und gebrochene Ideale.
- Zeige, dass wenn es ein
, ,
mit
gibt, dass dann die Multiplikation mit , also
einen - Modulisomorphismus
induziert.
- Zeige, dass wenn es irgendeinen -Modulisomorphismus
gibt, dass es dann schon ein mit
gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.
Aufgabe Aufgabe 24.15 ändern
Beweise Lemma 24.12.
Aufgabe Aufgabe 24.16 ändern
Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge nur endlich viele minimale Elemente besitzt.
Es sei
ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und . Zu einem Ideal nennt man das von erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von unter . Es wird mit bezeichnet.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
ein Ringhomomorphismus und es seien Ideale in . Beweise für die Erweiterungsideale die Gleichheiten
und
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu
den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei (mit ) ein Ideal in einem Zahlbereich und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal die Gestalt
hat. Zeige, dass ein Hauptideal sein muss.
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