Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 28/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 28.1 ändern

Zeige, dass eine ganzzahlige ${}2\times 2$ - Matrix ${}M$ genau dann (als ganzzahlige Matrix) invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ oder ${}-1$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ergänze die Matrix

{\begin{pmatrix}7&11\\&\end{pmatrix}}

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante ${}1$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für die Diskriminante ${}\triangle$ einer binären quadratischen Form

{}\triangle =0,1\mod 4\,

gilt, und dass diese beiden Möglichkeiten durch die sogenannten Hauptformen ${}X^{2}-{\frac {\triangle }{4}}Y^{2}$ bzw. ${}X^{2}+XY-{\frac {\triangle -1}{4}}Y^{2}$ realisiert werden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}F$ eine einfache binäre quadratische Form. Zeige, dass die von der Menge der durch ${}F$ darstellbaren Zahlen erzeugte Untergruppe gleich ${}\mathbb {Z}$ ist.

Es sei ${}F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form und ${}F'$ die mittels der Matrix ${}M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ transformierte Form ${}F'=FM$ . Zeige, dass für die Koeffizienten die Beziehung

{}{\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,

besteht.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form und ${}F'$ die mittels der Matrix ${}M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ transformierte Form ${}F'=FM$ . Dann besteht für die Koeffizienten die Beziehung

{}{\begin{pmatrix}b'&2c'\\2a'&b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&s\\t&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Eigenschaft einer binären quadratischen Form, einfach zu sein, nur von der Äquivalenzklasse der Form abhängt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man mit der binären quadratischen Form

x^{2}-10y^{2}

weder die Zahl ${}2$ noch die Zahl ${}-2$ darstellen kann.

Unter einer homogenen Linearform versteht man einen Ausdruck der Form ${}rX+sY$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ über ${}{\mathbb {C} }$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ . Charakterisiere mit Hilfe der Diskriminante, ob diese Form über ${}\mathbb {R}$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.

Bei ${}a=0$ oder ${}c=0$ ist die Diskriminante gleich ${}b^{2}$ , also ein Quadrat, und die Form zerfällt in ${}Y(bX+cY)$ . Ein ähnliches Verhalten tritt stets aus, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Dieser Fall ist vergleichsweise einfach und hat keine Entsprechung in den quadratischen Zahlbereichen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ . Zeige, dass die Diskriminante genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form über ${}\mathbb {Q}$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe Aufgabe 28.12 ändern

Zeige, dass eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ mit einer quadratfreien (bzw. bis auf den Faktor ${}4$ quadratfreien) Diskriminante einfach ist.

Aufgabe Aufgabe 28.13 ändern

Zeige, dass eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine quadratische Form auf dem ${}\mathbb {Z}$ - Modul ${}\mathbb {Z} ^{2}$ im Sinne der Definition 28.8 ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}Q\colon L\rightarrow R$ eine quadratische Form auf dem ${}R$ - Modul ${}L$ und ${}M\subseteq L$ ein ${}R$ - Untermodul. Zeige, dass die Einschränkung von ${}Q$ auf ${}M$ ebenfalls eine quadratische Form ist.

Bei der nächsten Aufgabe denke man an ${}S=\mathbb {Q}$ , ${}R=\mathbb {Z}$ , bei ${}L$ an den Quotientenkörper eines quadratischen Zahlbereichs zusammen mit der Norm als quadratischer Form (mit Werten in ${}\mathbb {Q}$ ) und bei ${}M$ an ein gebrochenes Ideal von ${}L$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}L$ ein ${}S$ - Modul und ${}Q\colon L\rightarrow S$ eine quadratische Form. Es sei ${}R\subseteq S$ ein Unterring und es sei ${}M\subseteq L$ ein ${}R$ - Untermodul mit der Eigenschaft, dass die Werte von ${}M$ unter ${}Q$ zu ${}R$ gehören. Zeige, dass die Einschränkung von ${}Q$ auf ${}M$ eine quadratische Form über ${}R$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}Q\colon L\rightarrow R$ eine quadratische Form auf dem ${}R$ - Modul ${}L$ , es sei ${}M$ ein weiterer ${}R$ -Modul und es sei

\varphi \colon M\longrightarrow L

ein ${}R$ - Modulhomomorphismus. Zeige, dass ${}Q\circ \varphi$ eine quadratische Form auf ${}M$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und es seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ äquivalente Ideale aus ${}R$ . Zeige, dass dann die zugehörigen vereinfachten Normen als quadratische Formen äquivalent sind.

Aufgabe Aufgabe 18.18 ändern

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$ und sei ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form zu dieser Diskriminante mit ${}a<0$ . Zeige wie im Beweis zu Satz 28.13, dass

{}{\mathfrak {a}}={\sqrt {\triangle }}\cdot {\left(a\mathbb {Z} +{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\mathbb {Z} \right)}\,

ein Ideal in ${}R$ ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert.

Aufgabe * Aufgabe 28.19 ändern

Es sei

{}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,

eine quadratische Körpererweiterung und es sei

\varphi \colon L\longrightarrow L

eine ${}\mathbb {Q}$ - lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass ${}\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus ${}L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.