Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Übungsaufgaben
Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz .
Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz
Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.
Bestimme den Rest von modulo .
Es seien
und sei
.
a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.
b) Es sei
.
Ist stets ein Teiler von
c) Man gebe drei Primfaktoren von an.
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der für die beiden Zahlen und .
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
Welche Restklasse modulo entspricht dem Restklassenpaar und welche dem Paar ?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo , die modulo den Rest hat und die modulo den Rest hat.
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Es seien und kommutative Ringe mit dem Produktring
Zeige, dass ein Ringhomomorphismus
dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen
für .
Man gebe eine surjektive Abbildung
an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung
ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.
Tipp: Benutze Aufgabe 3.21.
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.
a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.
Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.
Für eine Gruppe bezeichne die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in . Zeige folgende Aussagen.
- Ist abelsch, so ist eine Untergruppe von .
- Ist eine Untergruppe, so ist ein Normalteiler in .
- Es gibt eine Gruppe , für die keine Untergruppe von ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei . Finde ein Polynom vom Grad , das für alle Elemente aus mit übereinstimmt.
![{\displaystyle {}f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in (\mathbb {Z} /(5))[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4352ac25ca31fd55d2042d8cceb340ed0194adb7)
![{\displaystyle {}g(x)\in (\mathbb {Z} /(5))[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cd6a260f46fa6e0f18c8c9a07ffd5c6b3cbe21)
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
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