Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Zahlbereiche}
Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von $\Z$ in einem endlichen \definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{} der rationalen Zahlen $\Q$ interessieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $\Z$ in $L$ den \definitionswort {Ring der ganzen Zahlen}{} in $L$. Solche Ringe nennt man auch \definitionswort {Zahlbereiche}{.}
}
Den endlichen Erweiterungskörper $L$ von $\Q$ nennt man übrigens einen \stichwort {Zahlkörper} {.} Diese Zahlbereiche sind der Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere für folgende Fragen.
\aufzaehlungdrei{Wann ist ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und wann ist er \definitionsverweis {faktoriell}{}{?} }{Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen \zusatzklammer {Ja: Lokal und auf Idealebene} {} {.} }{Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? \zusatzklammer {Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe} {} {.}}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Normal/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 17.15
ist $L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings $R$. Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{Q(R)
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz über $R$, so ist $q$ nach
Aufgabe 17.20
auch ganz über $\Z$ und gehört selbst zu $R$.
Ein Ganzheitsring ist im Allgemeinen nicht faktoriell.
{Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Unterring}
\faktvoraussetzung {mit den folgenden Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{$R$ ist
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R)
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ der
\definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{}
von $L$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 18.1. }
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[\sqrt{-3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der die Ringe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z[\sqrt{-3}] = A
}
{ \subseteq} { \Z[ \omega] = B
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{-3}]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
enthält, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ -\frac{1}{2} +\frac{ { \mathrm i} }2\sqrt3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, d.h.
\mathl{\Z[\omega]}{} ist der Ring der
\definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{.}
Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist $\Q[\sqrt{-3}]$. Das Element $\omega$ erfüllt die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\omega^2 + \omega +1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und somit ist
\mathl{\Z[\omega]}{} ganz über $\Z$. Ferner ist $\Z[\omega]$
\definitionsverweis {normal}{}{.}
Dies ergibt sich aus
Satz 2.15,
Satz 2.16,
Satz 3.7
und
Satz 17.12.
Nach
Lemma 18.3
ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in $\Q[\sqrt{-3}]$.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann enthält jedes von $0$ verschiedene
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \neq }{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses Element ist nach der Definition eines
\definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$ und erfüllt demnach eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \cdots + k_1f +k_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit ganzen Zahlen $k_i$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \cdots + k_1 \right) }
}
{ =} {-k_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ \in }{ (f) \cap \Z
}
{ \subseteq }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{Q(R)
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $f$ genau dann
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$, wenn die Koeffizienten des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{}
von $f$ über $\Q$ alle ganzzahlig sind.
}
{
Das Minimalpolynom $P$ von $f$ über $\Q$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus $\Q$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} für $f$ über $\Z$ vor.
Es sei umgekehrt $f$ ganz über $\Z$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \in }{\Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein normiertes ganzzahliges Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das wir als irreduzibel in
\mathl{\Z[X]}{} annehmen dürfen. Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \in }{\Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dort gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { PT
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da nach
dem Lemma von Gauß
ein irreduzibles Polynom von
\mathl{\Z[X]}{} auch in
\mathl{{\Q}[X]}{} irreduzibel ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher sind alle Koeffizienten von $P$ ganzzahlig.
Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu $\Z$ gehören.
\zwischenueberschrift{Gruppenstruktur von Idealen}
In
\mathl{\Z[{ \mathrm i} ]}{} ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b{ \mathrm i} )
}
{ =} { { \left\{ m (a+b { \mathrm i} ) + n { \mathrm i} ( a+b { \mathrm i}) \mid m,n \in \Z \right\} }
}
{ \cong} { \Z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt} {} {.}
Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir jetzt beweisen werden.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Dann enthält ${\mathfrak a}$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{,} die eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ sind.
}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine $\Q$-Basis von $L$. Das Ideal ${\mathfrak a}$ enthält nach
Lemma 18.5
ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \neq }{m
}
{ \in }{ {\mathfrak a} \cap \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
\zusatzklammer {dem Beweis von} {} {}
Lemma 17.15
kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_i
}
{ = }{ { \frac{ r_i }{ n_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_i
}
{ \in }{ \Z \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Dann sind die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m (n_i v_i)
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sie bilden ebenfalls eine $\Q$-Basis von $L$.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bilden und für die der Betrag der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {\betrag { \triangle (b_1 , \ldots , b_n) }} { }
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak a}$ minimal sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst sind wegen Aufgabe 18.5 die Spuren zu Elementen aus $R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\Z$-Linearkombination
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ k_1b_1 + \cdots + k_nb_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_i
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben lässt, wenn die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $\Q$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { q_1b_1 + \cdots + q_nb_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit rationalen Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_i
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei angenommen, dass ein $q_i$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen dürfen. Wir schreiben dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_1
}
{ = }{k + \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer rationalen Zahl $\delta$
\zusatzklammer {echt} {} {}
zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch
\mathdisp {c_1 = f-kb_1 = \delta b_1 + \sum_{i=2}^n q_ib_i,\, b_2 , \ldots , b_n} { }
eine $\Q$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak a}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \begin{pmatrix} \delta & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 16.2
gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (c_1,b_2 , \ldots , b_n)
}
{ =} {(\det(T))^2 \triangle (b_1,b_2 , \ldots , b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det(T))^2
}
{ = }{\delta ^2
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und da die Diskriminanten nach
Lemma 16.3
nicht $0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak a}$ eine
\definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang}{}{}
$n$,}
\faktzusatz {d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${\mathfrak a}$ eindeutig bestimmt sind.}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 18.7
gibt es überhaupt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die eine $\Q$-Basis von $L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der
\zusatzklammer {ganzzahlige} {} {}
Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach
Satz 18.8,
dass sie ein $\Z$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak a}$ bilden. Die
\definitionsverweis {lineare Unabhängigkeit}{}{}
über $\Q$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ eine
\definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang}{}{}
$n$,}
\faktzusatz {d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
Korollar 18.9,
angewendet auf das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ein solches System von Erzeugern
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} nennt man auch eine \stichwort {Ganzheitsbasis} {} von $R$.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(m)
}
{ \cong} { ( \Z/(m) )^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für eine Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{R/(m)}{} eine Algebra der Dimension $n$ über dem Körper
\mathl{\Z/(p)}{.} Zu jeder Primzahl $p$ gibt es
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
${\mathfrak p}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}\cap \Z
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach
Korollar 18.10
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong }{\Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {als abelsche Gruppen} {} {,}
wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} entsprechen möge. Das von $m$ in $R$ erzeugte Ideal besteht aus allen $\Z$-Linearkombinationen der
\mathl{m a_1 , \ldots , m a_n}{} und somit entspricht das Ideal
\zusatzklammer {unter dieser Identifizierung} {} {}
der von
\mathl{(m,0 , \ldots , 0), (0,m,0 , \ldots , 0) , \ldots , (0 , \ldots , 0,m)}{} erzeugten Untergruppe von $\Z^n$. Die Restklassengruppe
\mathl{R/(m)}{} ist demnach gleich
\mathl{(\Z/(m))^n}{} und besitzt $m^n$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach
Aufgabe 17.18
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m R \cap \Z
}
{ = }{ m \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aufgrund
des Homomorphiesatzes
hat man einen injektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {\Z/(m) } { R/(m)
} {,}
sodass
\mathl{R/(m)}{} eine von $0$ verschiedene
\mathl{\Z/(m)}{-}Algebra ist.
Für eine Primzahl $p$ ist
\mathl{R/(p)}{} ein Vektorraum über
\mathl{\Z/(p)}{} der Dimension $n$. Deshalb gibt es darin
\zusatzklammer {mindestens} {} {}
ein maximales Ideal, und dieses entspricht
nach Aufgabe 9.15
einem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ = }{ (p)R \cap \Z
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak m} \cap \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich $(p)$.
\zwischenueberschrift{Noethersche Ringe und Dedekind-Bereiche}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Noether.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Emmy Noether (1882-1935)} }
\bildlizenz { Noether.jpg } {} {Anarkman} {PD} {} {http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/course/c_energy/energyl/lec001.html}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {noethersch}{,} wenn jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} darin \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Jeder \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}
}
{
Nach Korollar 18.9 ist jedes von $0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu $\Z^n$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale \zusatzklammer {also als $R$-Moduln} {} {} endlich erzeugt.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} endlich.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Als kommutative Gruppe ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist das von $a$
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
eine Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a R
}
{ \cong} { \Z^n
}
{ \subseteq} {R
}
{ \cong} {\Z^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb ist die Restklassengruppe
\mathl{\Z^n/ aR}{} endlich und wegen der natürlichen Surjektion
\maabb {} { \Z^n/ aR} { R/{\mathfrak a}
} {}
ist auch der Restklassenring endlich.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Dann ist jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} von $R$ bereits ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
}
{
Es sei ${\mathfrak p}$ ein Primideal $\neq 0$ in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/ {\mathfrak p}$ nach Lemma 16.13 ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und nach Satz 18.14 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe 9.5 bereits ein Körper, sodass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Dedekind.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Richard Dedekind (1831-1916)} }
\bildlizenz { Dedekind.jpeg } {Jean-Luc W} {} {Commons} {PD} {http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160}
Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.
\inputdefinition
{}
{
Einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ nennt man einen \definitionswort {Dedekindbereich}{,} wenn er \definitionsverweis {noethersch}{}{} und \definitionsverweis {normal}{}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} darin \definitionsverweis {maximal}{}{} ist.
}
Die Eigenschaft, dass jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzen
\zusatzklammer {wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal $0$} {} {.}
Man sagt auch, dass die \stichwort {Krulldimension} {} des Ringes gleich $1$ ist.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Jeder \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}
}
{
Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.13 und aus Satz 18.15.
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