Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 9/kontrolle
- Summe von zwei Quadraten - Primzahlen
In diesem Abschnitt werden wir die Frage beantworten, welche ganze Zahlen sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lassen, oder, anders formuliert, wann die diophantische Gleichung
eine Lösung mit ganzen Zahlen besitzt. Wir werden dabei wesentlich den Ring der Gaußschen Zahlen verwenden und schließen dabei an Vorlesung 2 an. Zunächst betrachten wir den Fall, wo eine ungerade Primzahl ist. Es gilt folgende Charakterisierung.
(1) (2). Dies folgt sofort aus (diese Äquivalenz gilt für alle ganzen Zahlen).
(2) (3). Die Normdarstellung
ist eine Faktorzerlegung in . Da und beide von verschieden sind, ist und ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Lemma 2.12 euklidisch ist, sind nach Satz 3.5 prim und unzerlegbar äquivalent.
(3) (2). Es sei zerlegbar, sagen wir mit Nichteinheiten . Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen . Dann muss sein.
(3) (4). Es gilt
Dieser Restklassenring ist endlich und somit nach Aufgabe 9.5 genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass prim in ist (man kann auch mit Satz 3.12 schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom ein irreduzibles Polynom in ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in besitzen, was bedeutet, dass kein Quadrat in ist.
Die Äquivalenz (4) (5) wurde schon im Satz 6.8 gezeigt.
Es sei eine Primzahl, die modulo den Rest besitzt, sodass es nach Satz 9.1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten geben muss. Wie findet man eine solche Darstellung explizit? Einerseits durch probieren, andererseits kann man aber entlang dem Beweis des Satzes vorgehen. Dazu muss man folgende Schritte gehen:
- Finde in ein Element mit . Um dies zu finden braucht man in der Regel ein primitives Element in diesem Restklassenkörper (ist ein primitives Element, so kann man nehmen; siehe auch Aufgabe 6.7).
- Die Abbildung , die ganze Zahlen modulo nimmt und auf schickt, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus auf einen Körper. Der Kern ist ein Hauptideal, das von und von erzeugt wird.
- Finde mit dem euklidischen Algorithmus einen Erzeuger für das Hauptideal . Ein solcher Erzeuger hat die Norm . Eine Zerlegung führt ja generell auf .
Es sei (man sieht natürlich sofort eine Darstellung). Mit dem oben beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen:
In ist , also kann man nehmen. Dies führt zum Ideal .
Division in liefert
und ist eine beste Approximation in . Damit ist die Division mit Rest
mit . Die nächste durchzuführende Division liefert
Damit ist also und somit ist ein Erzeuger des Ideals.
Wenn für eine Primzahl eine Darstellung
als Summe von zwei Quadraten bekannt ist, so kann man daraus einfach eine Quadratwurzel der in finden. In diesem Fall gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus
Die Isomorphie rechts rührt dabei von
her, wobei die Surjektivität darauf beruht, dass ein Körper ist und es in schon zwei Quadratwurzeln der gibt. Die Eigenschaft
überträgt sich auf das Bild, und dort gilt
Wir wollen in eine Quadratwurzel für mit Hilfe von Bemerkung 9.4 finden. Es ist
Im Restklassenkörper
ist
In der Tat ist
- Primfaktorzerlegung für Gaußsche Zahlen
Aus dem Hauptsatz können wir problemlos ableiten, wie sich die Primzahlen in verhalten:
Die Primzahlen aus haben in folgendes Zerlegungsverhalten:
- Es ist
und ist prim in .
- Für ist
mit gewissen eindeutig bestimmten , wobei beide Faktoren prim sind.
- Für ist prim in .
Aufgrund von Satz 9.1 gibt es im zweiten Fall eine Darstellung
Wegen
haben die beiden Faktoren die Norm und sind deshalb nach Lemma 2.13 prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.
Für eine Gaußsche Zahl kann man folgendermaßen entscheiden, ob sie prim ist bzw. wie ihre Primfaktorzerlegung aussieht:
- Berechne die Norm . Ist diese eine Primzahl, so ist nach Lemma 2.13 das Element selbst prim.
- Bestimme die
(ganzzahligen)
Primfaktoren von . Schreibe
wobei die ungerade mit Rest modulo und die ungerade mit Rest modulo seien.
- Schreibe
für die Primfaktoren mit Rest modulo , und
.
Damit ist
- Liste die möglichen Primfaktoren von (und zugleich von ) auf: das sind (falls mit positivem Exponenten vorkommt), die und sowie die (da ein Hauptidealbereich ist und somit die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, setzt sich die Primfaktorzerlegung von und von bis auf Einheiten aus Primfaktoren der rechten Seite zusammen).
- Durch und die kann man sofort durchdividieren, da diese Faktoren jeweils sowohl von als auch von ein Faktor sind.
- Für die möglichen Primfaktoren und muss man (durch Division mit Rest) überprüfen, ob sie Primfaktoren von sind oder nicht (wenn nicht, so teilen sie ). Statt Division kann man auch die möglichen Kombinationen ausmultiplizieren.
Es ist
wobei eine Primzahl ist. Wegen
besitzt in die Primfaktorzerlegung
und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung
- Summe von zwei Quadraten
Wie kommen nun zur Bestimmung aller ganzen Zahlen, die Summe von zwei Quadraten sind.
ist eine Summe von zwei Quadraten.
Sind die natürlichen Zahlen und jeweils eine Summe von zwei Quadratzahlen, so ist auch das Produkt eine Summe von zwei Quadratzahlen.
Ist , und ist eine Summe von zwei Quadratzahlen, so auch .
Die erste Aussage ist klar, für die zweite hat man die Charakterisierung mit der Norm und die Multiplikativität der Norm auszunutzen. Ist , so kann man einfach mit multiplizieren.
Es sei eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben , wobei jeder Primfaktor von nur einfach vorkomme. Dann ist die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von nur und Primzahlen vorkommen, die modulo den Rest haben.
Erfüllt die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Es sei umgekehrt angenommen, dass die Summe zweier Quadrate ist, sodass also eine Zerlegung vorliegt. Es sei ein Primfaktor von , der modulo den Rest besitze. Dann ist nach Satz 9.1 prim in und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation) beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von in der Primfaktorzerlegung von gerade und kommt in der Primfaktorzerlegung von nicht vor.
- Summe von drei und von vier Quadraten
Die beiden folgenden Sätze heißen Dreiquadratesatz bzw. Vierquadratesatz (oder Satz von Lagrange).
Eine natürliche Zahl lässt sich genau dann als Summe von drei Quadratzahlen darstellen,
wenn nicht die Form
mit besitzt.
Jede natürliche Zahl
lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen.
Das Waringsche Problem ist die Frage, ob man für jeden Exponenten eine Zahl mit der Eigenschaft derart finden kann, dass jede natürliche Zahl eine Darstellung als Summe von maximal -ten Potenzen besitzt. Bei
ist
.
Dieses Problem wurde von Hilbert positiv gelöst. Beispielsweise kann man jede natürliche Zahl als Summe von Kuben darstellen. Für braucht man wirklich Kuben.
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