Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Eine messbare Funktion

$f\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt ${}p$-integrierbar, wenn ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu$ endlich ist.

Der Menge aller ${}p$-integrierbaren Funktionen wird mit

${}{\mathcal {L}}^{p}(X)={\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,$

bezeichnet, es handelt sich um einen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum.

Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß. Die Funktionen

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow {\mathbb {K} }$

sind einfach die ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Folgen, diese sind automatisch messbar. Die ${}p$-Integierbarkeit ist in diesem Fall einfach die ${}p$-Summierbarkeit, es geht also um diejenigen Folgen ${}f$, für die

${}\Vert {f}\Vert _{p}=\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{p}<\infty \,$

gilt. Die ${}f_{n}$ sind von daher eher als Reihenglieder denn als Folgenglieder anzusehen. Für ${}p=1$ handelt es sich um die absolute Konvergenz der Reihe bzw. schlicht um die Summierbarkeit, für ${}p=2$ spricht man von quadratsummierbaren Folgen. Die harmonische Reihe ist nicht summierbar, aber ${}2$-summierbar und sogar ${}p$-summierbar für jedes ${}p>1$.

Lemma

Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum.

Dann ist die Menge ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ der ${}p$-integrierbaren Funktionen ein ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zu einer ${}p$-integrierbaren Funktion nennt man

${}\Vert {f}\Vert _{p}:={\left(\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \right)}^{1/p}\,$

die ${}p$-Norm von ${}f$.

Bemerkung  

Häufig möchte man auch für ${}p=\infty$ zu Fakt entsprechende Funktionenräume mit einer entsprechenden Halbnorm zur Verfügung haben. Zu einer messbaren Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ setzt man

${}\Vert {f}\Vert _{\infty }:=\inf {\left(b,\,\mu (f^{-1}(\mathbb {R} _{>b}))=0\right)}\,.$

Diese Zahl (die eventuell ${}\infty$ sein kann) nennt man auch das wesentliche Supremum von ${}f$. Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ${}f$ zwar auch Werte oberhalb dieses wesentlichen Supremums annehmen kann, aber nur auf einer Nullmenge. Man nennt ${}f$ wesentlich beschränkt, wenn ihr wesentliches Supremum eine reelle Zahl ist. Mit ${}{\mathcal {L}}^{\infty }$ bezeichnet man den Vektorraum der wesentlich beschränkten Funktionen auf ${}X$, auf diesem ist ${}\Vert {-}\Vert$ eine Halbnorm.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Dann sind für eine messbare Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}f=0$ fast überall.
2. Es gibt ein ${}p\geq 1$ mit

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

3. Für alle ${}p\geq 1$ ist

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Wir werden zeigen, dass die ${}p$-Norm eine Halbnorm auf ${}{\mathcal {L}}^{p}$ ist und daher nach Fakt auf einem geeigneten Restklassenraum eine Norm ist. Die folgende Aussage heißt Höldersche Abschätzung oder Höldersche Ungleichung.

Lemma

Es seien ${}p,q\geq 1$ reelle Zahlen mit

${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

$f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

messbare Funktionen, die ${}p$- bzw. ${}q$-integrierbar seien.

Dann gilt

${}\int _{X}fgd\mu =\Vert {fg}\Vert _{1}\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}\,.$

Beweis

Bei ${}\Vert {f}\Vert _{p}=0$ ist die Aussage nach Fakt klar, wir können also von ${}\Vert {f}\Vert _{p},\Vert {g}\Vert _{p}>0$ ausgehen. Zu ${}x\in X$ wenden wir auf ${}A={\frac {\vert {f(x)}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}$ und ${}B={\frac {\vert {g(x)}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}$ die Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$

(siehe Aufgabe) an und erhalten

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{\Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}}}\int _{X}\vert {fg}\vert d\mu &=\int _{X}{\frac {\vert {f}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}\cdot {\frac {\vert {g}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}d\mu \\&\leq \int _{X}{\frac {\vert {f}\vert ^{p}}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}+{\frac {\vert {g}\vert ^{q}}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}d\mu \\&={\frac {1}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +{\frac {1}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}\int _{X}\vert {g}\vert ^{q}d\mu \\&={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\\&=1.\end{aligned}}$

Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

$f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

${}p$-integrierbare Funktionen.

Dann gilt

${}\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\,.$

Beweis

Es sei ${}1<p<\infty$, für die anderen Fälle siehe die Aufgaben. Wegen

${}\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {\vert {f}\vert +\vert {g}\vert }\Vert _{p}\,$

können wir ${}f$ und ${}g$ als reellwertig und nichtnegativ annehmen. Es sei ${}q$ die durch die Bedingung

${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

bestimmte Zahl, also

${}q={\frac {p}{p-1}}\,.$

Mit Fakt folgt

${}{\begin{aligned}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \\&=\int _{X}f{\left(f+g\right)}^{p-1}+g{\left(f+g\right)}^{p-1}d\mu \\&=\Vert {f{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}+\Vert {g{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}\\&\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}+\Vert {g}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&\leq {\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{(p-1)q}d\mu \right)}^{1/q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \right)}^{(p-1)/p}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}.\end{aligned}}$

Wir können nun mit ${}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}$ kürzen (wenn diese Zahl gleich ${}0$ ist, stimmt die Aussage sowieso).

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und ${}p\geq 1$.

Dann ist ${}\Vert {-}\Vert _{p}$ auf dem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ der ${}p$-integrierbaren Funktionen eine Halbnorm.

Beweis

Die Dreiecksabschätzung ist Fakt, die anderen Eigenschaften sind klar.

$\Box$