Mannigfaltigkeit/Differentialform/Integration längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Auf einer ${}n$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit ${}M$ sind nur ${}n$ -Formen über ${}M$ sinnvoll integrierbar. Man möchte aber auch ${}k$ -Formen ( ${}1\leq k\leq n$ ) über gewisse ${}k$ -dimensionale Unterobjekte integrieren können. Das passende Konzept ist dabei die Integration längs einer differenzierbaren Abbildung

\varphi \colon L\longrightarrow M

einer ${}k$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit ${}L$ . Dabei integriert man über ${}L$ einfach die mit ${}\varphi$ zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Form ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ . Auf ${}L$ passen dabei die Dimension und der Grad der Form zusammen. Ein wichtiger Spezialfall ist dabei der von ${}1$ -Formen und differenzierbaren Kurven

\gamma \colon I\longrightarrow M,

die dabei entstehenden Integrale nennt man Wegintegrale.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine ${}1$ -Differentialform. Es sei

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

{}\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$ .

Dabei ist ${}\gamma '(t)=(T_{t}\gamma )(1)\in T_{\gamma (t)}M$ .

Bemerkung

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige ${}1$ -Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.

Häufig werden wir Differentialformen auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq G$ , ${}G$ offen in ${}\mathbb {R} ^{n}$ , betrachten, die sogar auf ${}G$ definiert sind und daher die Gestalt ${}\omega =\sum _{i=1}^{n}g_{i}dx_{i}$ besitzen, wobei die ${}x_{i}$ die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{n}$ und die ${}g_{i}$ auf ${}G$ definierte Funktionen sind. Für einen Weg in ${}M$ ist es nach Aufgabe gleichgültig, ob man das Wegintegral mit Bezug auf ${}G$ und ${}\omega$ oder mit Bezug auf ${}M$ und die eingeschränkte Differentialform ${}\omega {|}_{M}$ betrachtet.

Bemerkung

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei ${}\omega$ eine ${}1$ -Form auf ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, die durch

{}\omega =g_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}\,

beschrieben werde, wobei die ${}g_{j}\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen ${}\gamma _{j}$ . Die Ableitung in einem Punkt ${}t\in [a,b]$ wird dann nach Fakt durch den Vektor ${}\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt ${}t$ in Richtung ${}1$ den Wert

{}{\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(g_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +g_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=g_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In ${}g_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also ${}x_{i}$ durch ${}\gamma _{i}(t)$ und ${}dx_{i}$ durch ${}\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare ${}1$ -Form auf ${}[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von ${}[a,b]$ nach ${}\mathbb {R}$ , die man integrieren kann.