Mannigfaltigkeit/Partition der Eins/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann besitzt ${}M$ eine kompakte Ausschöpfung.

Beweis

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$,

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

sowie Ballumgebungen

${}U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\subseteq B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\subset V\,.$

Wegen der Homöomorphie der Kartenabbildung und der Kompaktheit der abgeschlossenen Bälle ist ${}B_{P}=\alpha ^{-1}{\left(B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\right)}$ eine kompakte Teilmenge von ${}M$, die die offene Umgebung ${}U_{P}=\alpha ^{-1}{\left(U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\right)}$ von ${}P$ umfasst. Die ${}U_{P}$, ${}P\in M$, bilden eine offene Überdeckung von ${}M$, sodass es nach Aufgabe eine abzählbare Teilüberdeckung gibt. Diese sei mit ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, bezeichnet (wobei die ${}U_{n}$ in den kompakten Teilmengen ${}B_{n}$ liegen). Wir definieren nun rekursiv eine monoton wachsende Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto n_{k},$

derart, dass

$A_{k}=\bigcup _{n=0}^{n_{k}}B_{n},k\in \mathbb {N} ,$

eine kompakte Ausschöpfung von ${}M$ ist. Als endliche Vereinigungen von kompakten Mengen sind diese ${}A_{k}$ kompakt. Wir beginnen mit ${}n_{0}$. Es sei ${}n_{k}$ schon konstruiert. Die Menge

$A_{k}\cup B_{n_{k}+1}$

ist kompakt und wird daher von endlich vielen offenen Mengen ${}\bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}$ überdeckt, wobei wir ${}n_{k+1}\geq n_{k}+1$ wählen. Mit dieser Wahl ist

${}A_{k}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}B_{n}=A_{k+1}\,,$

und diese Folge bildet eine Ausschöpfung, da die ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von ${}M$ bilden.

$\Box$

Die zweite Eigenschaft sichert dabei, dass die Summe in (3) definiert ist, da für jeden Punkt ${}P\in X$ und fast alle ${}j\in J$ die Gleichheit ${}h_{j}(P)=0$ gilt. Bei einer Mannigfaltigkeit nennt man eine solche Partition differenzierbar, wenn alle ${}h_{j}$ differenzierbare Funktionen sind.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine Familie von Funktionen

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle ${}j\in J$.
2. Jeder Punkt ${}P\in X$ besitzt eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$.

Wenn alle ${}h_{j}$ stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Eine Partition der Eins

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes ${}j\in J$ eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung von ${}M$.

Dann gibt es einen abzählbaren verträglichen Atlas ${}{\left(U_{j},\alpha _{j},V_{j}\right)}$, ${}j\in J$, mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

(dabei ist ${}0\in V_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}\delta _{j}<\epsilon _{j}$) derart, dass es für jedes ${}j\in J$ ein ${}W_{i(j)}$ mit ${}U_{j}\subseteq W_{i(j)}$ gibt, dass ${}M$ von ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in J$, überdeckt wird und dass jeder Punkt ${}P\in M$ nur in endlich vielen der Mengen ${}U_{j}$ liegt.

Beweis

Es sei die offene Überdeckung ${}W_{i}$, ${}i\in I$, gegeben. Ferner sei ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung von ${}M$, die es nach Fakt gibt. Die offenen Mengen ${}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung, da es zu jedem Punkt ${}P\in M$ ein minimales ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}P\in A_{n}$ (es sei ${}A_{-1}=\emptyset$) gibt. Für dieses ${}n$ ist ${}P\not \in A_{n-1}$ und ${}P\in A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}$. Indem wir die Durchschnitte ${}W_{i}\cap {\left(A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}\right)}$ betrachten, können wir annehmen, dass alle Mengen der Überdeckung innerhalb von einem ${}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegen.
Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene (verträgliche) Kartenumgebung ${}P\in U_{P}$, die in einem der ${}W_{i}$ liegt und für die es Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{P}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{P}\right)\subset V_{P}\,$

gibt mit ${}P\in \alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$ und ${}\delta _{P}<\epsilon _{P}$. Diese ${}\alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$, ${}P\in M$, bilden dann ebenfalls eine offene Überdeckung von ${}M$. Nach Aufgabe können wir zu einer abzählbaren Teilüberdeckung davon übergehen. Wir können also annehmen, dass ein System von Karten ${}U_{j}$, ${}j\in \mathbb {N}$, zusammen mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

derart gegeben ist, dass auch ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von ${}M$ ist, dass jedes ${}U_{j}$ in einem ${}W_{i(j)}$ liegt und dass die oben beschriebene Beziehung zu der kompakten Ausschöpfung gilt.
  Wir werden eine Teilmenge ${}J\subseteq \mathbb {N}$ derart definieren, dass die Familie ${}U_{j}$, ${}j\in J$, auch noch die Endlichkeitseigenschaft erfüllt. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die kompakte Menge ${}A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}$. Diese wird von endlich vielen der ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in \mathbb {N}$, überdeckt, und zwar braucht man dazu nur Indizes ${}j$ mit der Eigenschaft, dass ${}U_{j}$ in ${}A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegt. Die zugehörige endliche Indexmenge sei mit ${}J_{n}$ bezeichnet, und sei ${}J=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }J_{n}$. Dann wird jedes ${}A_{n}$ nur von endlich vielen der ${}U_{j}$, ${}j\in J$, getroffen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten ${}U_{j}$, ${}j\in J$, (${}J$ abzählbar) mit

$\alpha _{j}\colon U_{j}\longrightarrow V_{j}$

und mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

(mit ${}\delta _{j}<\epsilon _{j}$) vorliegt derart, dass auch die ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ eine Überdeckung von ${}M$ bilden und dass jeder Punkt ${}P\in M$ nur in endlich vielen der ${}U_{j}$ und insbesondere nur in endlich vielen dieser ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ enthalten ist. Auf ${}V_{j}$ betrachten wir die Funktion ${}g_{j}$, die durch

${}g_{j}(v)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{{\left(\delta _{j}^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}}{\text{ für }}\Vert {v}\Vert <\delta _{j}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert ist. Diese Funktion hat genau auf ${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen positiven Wert und ihr Träger ist ${}B\left(0,\delta _{j}\right)$. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die ${}V_{j}$ überdecken) ${}U{\left(0,\epsilon _{j}\right)}$ und ${}V_{j}\setminus B\left(0,\delta _{j}\right)$ zeigt, dass ${}g_{j}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion

${\tilde {g}}_{j}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

durch

${}{\tilde {g}}_{j}(x)={\begin{cases}g(\alpha _{j}(x)){\text{ für }}x\in \alpha _{j}^{-1}(U{\left(0,\delta _{j}\right)})\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$, da der „Streifen“ ${}B\left(0,\epsilon _{j}\right)\setminus U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{j\in J}{\tilde {g}}_{j}(x)\,,$

wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von ${}{\tilde {g}}_{j}$ in

${}\alpha ^{-1}{\left(B\left(0,\delta _{j}\right)\right)}\subset U_{j}\,$

liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$ und überall positiv, da die ${}{\tilde {g}}_{j}(x)$ auf den überdeckenden Mengen ${}\alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ positiv sind. Dann bilden die

${}h_{j}={\frac {{\tilde {g}}_{j}}{\tilde {g}}}\,$

die gesuchte Partition der Eins.

$\Box$