Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt
Wir möchten das Konzept den Levi-Civita-Zusammenhangs von einer offenen Menge mit einer riemannschen Struktur auf eine beliebige riemannsche Mannigfaltigkeit ausdehnen. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, zu zeigen, dass der direkte Ansatz für offene Kartengebiete auf den Überlappungen verträglich ist. Dazu führt man die folgenden Begriffe ein.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben. Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn
für stetig differenzierbare Vektorfelder auf jeder offenen Menge gilt.
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn
für stetig differenzierbare Vektorfelder auf jeder offenen Menge gilt.
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei.
Dann gilt für stetig differenzierbare Vektorfelder auf jeder offenen Menge die sogenannte Koszul-Formel
Insbesondere kann es nur einen Zusammenhang mit diesen Eigenschaften geben.
Wegen der Torsionsfreiheit gilt
und
wobei wir die erste Identität auch als
auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten
und
Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten
In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten
Eine Umstellung ergibt die Formel.
Aufgrund der Gleichung ist für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.
Es sei offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen gegeben mit der inversen Matrix . Es sei der durch die Christoffelsymbole
gegebene Levi-Civita-Zusammenhang, der durch
gekennzeichnet ist. Dann erfüllt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist
- Er erfüllt die Koszul-Formel aus Fakt.
- Er ist torsionsfrei.
- Er ist metrisch.
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es auf dem Tangentialbündel einen eindeutig bestimmten torsionsfreien, metrischen, linearen Zusammenhang.
Nach Fakt kann es höchstens einen solchen Zusammenhang geben. Nach Fakt kann man lokal für ein Kartengebiet explizit einen Zusammenhang mit den geforderten Eigenschaften angeben. Wegen der eben zitierten Eindeutigkeit stimmen die so konstruierten Zusammenhänge auf den Durchschnitten der Karten überein.
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Der lokal durch die Christoffelsymbole definierte Zusammenhang auf dem Tangentialbündel heißt Levi-Civita-Zusammenhang.
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang die folgenden Eigenschaften.
- ist linear.
- ist metrisch, d.h.
- ist torsionsfrei, d.h. es ist
Dies folgt aus Fakt.