Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt

Wir möchten das Konzept den Levi-Civita-Zusammenhangs von einer offenen Menge mit einer riemannschen Struktur auf eine beliebige riemannsche Mannigfaltigkeit ausdehnen. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, zu zeigen, dass der direkte Ansatz für offene Kartengebiete auf den Überlappungen verträglich ist. Dazu führt man die folgenden Begriffe ein.


Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben. Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn

für stetig differenzierbare Vektorfelder auf jeder offenen Menge gilt.


Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn

für stetig differenzierbare Vektorfelder auf jeder offenen Menge gilt.



Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei.

Dann gilt für stetig differenzierbare Vektorfelder auf jeder offenen Menge die sogenannte Koszul-Formel

Insbesondere kann es nur einen Zusammenhang mit diesen Eigenschaften geben.

Wegen der Torsionsfreiheit gilt

und

wobei wir die erste Identität auch als

auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten

und

Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten

In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten

Eine Umstellung ergibt die Formel.

Aufgrund der Gleichung ist für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.



Es sei offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen gegeben mit der inversen Matrix . Es sei der durch die Christoffelsymbole

gegebene Levi-Civita-Zusammenhang, der durch

gekennzeichnet ist. Dann erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist
  2. Er erfüllt die Koszul-Formel aus Fakt.
  3. Er ist torsionsfrei.
  4. Er ist metrisch.
  1. Es ist

    Ferner ist

  2. Da die Lie-Klammern auf trivial sind, gilt die Koszul-Formel für die Basisfelder nach Teil (1). Für den allgemeinen Fall siehe Aufgabe.
  3. Nach Fakt und wegen ist

    Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.

  4. Nach Teil (1) ist
    Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.



Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es auf dem Tangentialbündel einen eindeutig bestimmten torsionsfreien, metrischen, linearen Zusammenhang.

Nach Fakt kann es höchstens einen solchen Zusammenhang geben. Nach Fakt kann man lokal für ein Kartengebiet explizit einen Zusammenhang mit den geforderten Eigenschaften angeben. Wegen der eben zitierten Eindeutigkeit stimmen die so konstruierten Zusammenhänge auf den Durchschnitten der Karten überein.



Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Der lokal durch die Christoffelsymbole definierte Zusammenhang auf dem Tangentialbündel heißt Levi-Civita-Zusammenhang.



Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang die folgenden Eigenschaften.

  1. ist linear.
  2. ist metrisch, d.h.
  3. ist torsionsfrei, d.h. es ist

Dies folgt aus Fakt.