Stetige Abbildungen/Metrischer und euklidischer Raum/Textabschnitt

Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}\infty$.

Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also ${}T$ eine Menge und ${}E$ sei ein euklidischer Vektorraum. In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung

$f\colon T\longrightarrow E$

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\Vert {f(x)}\Vert ,x\in T)}\,$

und nennt dies das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$ (falls das Supremum nicht existiert, ist dies als ${}\infty$ zu interpretieren).

Wir setzen ${}M=\operatorname {Abb} (T,E)$; dies ist ein (i.A. unendlichdimensionaler) reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften (die geeignet zu interpretieren sind, falls ${}\infty$ auftritt).

1. Es ist ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. Es ist ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Wenn ${}T$ ein metrischer Raum ist, so betrachtet man

${}C={\left\{f:T\rightarrow E\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Dieser ist ein reeller Untervektorraum von ${}M$. Wenn ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ nichtleer, abgeschlossen und beschränkt ist, so ist nach Fakt das Supremum von ${}\Vert {f(x)}\Vert$, ${}x\in T$, gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein ${}x\in T$ derart, dass ${}\Vert {f(x')}\Vert \leq \Vert {f(x)}\Vert$ für alle ${}x'\in T$ gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der Maximumsnorm.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine kompakte Teilmenge, es sei ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei ${}C=C(T,E)$ der Vektorraum der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$.

Dann ist ${}C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.

Beweis

Es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow E$

eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\Vert {f_{n}(x)-f_{m}(x)}\Vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}x\in T$} gilt. Daher ist für jedes ${}x\in T$ die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in ${}E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge ${}f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung

$f\colon T\longrightarrow E,\,x\longmapsto f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$

ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon >0$ stets ein ${}n_{0}$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle ${}x\in T$ gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen ${}f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Fakt ist daher ${}f$ stetig und daher ist ${}f\in C$.

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