Wegintegral/Zeitunabhängiges Vektorfeld/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,$

das Wegintegral zum Vektorfeld ${}F$ längs des Weges ${}\gamma$.

Statt Wegintegral sagt man auch Kurvenintegral. Die stetige Differenzierbarkeit sichert dabei, dass die Ableitung ${}\gamma '$ und damit auch der Integrand ${}t\mapsto \left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle$ stetig sind, sodass das Integral existiert.

Wenn der Weg ${}\gamma$ nur (stetig und) stückweise stetig differenzierbar ist, wenn es also eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\ldots <a_{n-1}<a_{n}=b$ derart gibt, dass die Einschränkungen${}\gamma _{i}:=\gamma _{[a_{i-1},a_{i}]}$ stetig differenzierbar sind, so setzt man

${}\int _{\gamma }F:=\int _{\gamma _{1}}F+\int _{\gamma _{2}}F+\cdots +\int _{\gamma _{n}}F\,.$

Bemerkung  

Das Vektorfeld

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

sei durch die Komponentenfunktionen

$F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

und die Kurve durch die Komponentenfunktionen

$(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))$

mit der Ableitung

$(\gamma '_{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}'(t))$

gegeben. Dann wird das Wegintegral durch

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}F_{1}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{1}'(t)+\cdots +F_{n}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{n}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\end{aligned}}$

berechnet.

Beispiel

Zu einem konstanten Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto v,$

mit einem Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ und einem affin-linearen Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto w+tu,$

ist

${}\int _{\gamma }F=\int _{a}^{b}\left\langle v,u\right\rangle dt=(b-a)\left\langle v,u\right\rangle \,.$

Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{3},xy)$

und den Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}-5t).$

Die Ableitung von ${}\gamma$ ist

${}\gamma '(t)=(2t,3t^{2}-5)\,.$

Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{1}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(\gamma _{1}(t)^{2}-\gamma _{2}(t)^{3}\right)}\cdot \gamma _{1}'(t)+\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-(t^{3}-5t)^{3}\right)}\cdot 2t+t^{2}(t^{3}-5t)\cdot (3t^{2}-5)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-t^{9}+15t^{7}-75t^{5}+125t^{3}\right)}2t+t^{2}{\left(3t^{5}-5t^{3}-15t^{3}+25t\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}2t^{5}-2t^{10}+30t^{8}-150t^{6}+250t^{4}+3t^{7}-20t^{5}+25t^{3}dt\\&=\int _{0}^{1}-2t^{10}+30t^{8}+3t^{7}-150t^{6}-18t^{5}+250t^{4}+25t^{3}dt\\&={\left(-{\frac {2}{11}}t^{11}+{\frac {10}{3}}t^{9}+{\frac {3}{8}}t^{8}-{\frac {150}{7}}t^{7}-3t^{6}+50t^{5}+{\frac {25}{4}}t^{4}\right)}|_{0}^{1}\\&=47+{\frac {-336+6160+693-39600+11550}{1848}}\\&=47-{\frac {21533}{1848}}\\&={\frac {65323}{1848}}.\end{aligned}}$

Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (-3x,5y).$

Für einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),$

ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld gleich

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}-3\gamma _{1}(t)\cdot \gamma _{1}'(t)+5\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&={\left(-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(t))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(t))^{2}\right)}|_{a}^{b}\\&=-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(b))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(b))^{2}+{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(a))^{2}-{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(a))^{2}.\end{aligned}}$

Insbesondere hängt dieser Wert nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ ab, also dem Anfangspunkt und dem Endpunkt der Bewegung, nicht aber vom Verlauf des Weges.

Das folgende Beispiel zeigt, dass für einen geschlossenen Weg ${}\gamma$, wo also ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ ist, das Wegintegral nicht ${}0$ sein muss. Wir werden allerdings später sehen, dass Gradientenfelder (Potentialfelder) die Eigenschaft besitzen, dass die Wegintegrale nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängen.

Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (-y,x)$

und den Weg

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$

Die Ableitung von ${}\gamma$ ist

${}\gamma '(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$

Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}t+\cos ^{2}tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi .\end{aligned}}$

Bemerkung  

Bei der üblichen pysikalischen Interpretation eines Wegintegrals stellt man sich das Vektorfeld ${}F$ als ein Kraftfeld und den Weg als die Bewegung eines Massepunktes vor. Dabei ist die Bewegung erzwungen, d.h. es handelt sich nicht um die natürliche Bewegung, die das Kraftfeld bewirkt , sondern um eine geführte Bewegung. Eine solche Bewegung erfordert einen Arbeitsaufwand, wenn sie gegen das Kraftfeld durchgeführt wird, und setzt Energie frei, wenn sie mit der Kraft geführt wird. Entscheidend ist dabei der Winkel zwischen der momentanten Bewegungsrichtung zu einem Zeitpunkt ${}t$ und dem Kraftfeld zum Ortspunkt ${}\gamma (t)$. Daher taucht in der Definition des Wegintegrals das Skalarprodukt zwischen Vektorfeld und Bewegungsrichtung auf. Das gesamte Wegintegral ist die Arbeit, die man längs des Weges in dem Kraftfeld verrichtet. Das Skalarprodukt ${}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle$ bedeutet zu einem fixierten Zeitpunkt ${}t$ die momentane Leistung.

Satz

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

$g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.

Dann gilt

${}\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$

Beweis

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}F$ und ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}\gamma$. Dann gilt mit der Substitution

${}t=g(s)\,$

unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}{\left(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t)\right)}\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left(\gamma _{1}(g(s)),\ldots ,\gamma _{n}(g(s))\right)}\cdot \gamma _{i}'(g(s))\cdot g'(s)ds\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left({\tilde {\gamma }}_{1}(s),\ldots ,{\tilde {\gamma }}_{n}(s)\right)}\cdot {\tilde {\gamma }}_{i}'(s)ds\\&=\int _{\tilde {\gamma }}F.\end{aligned}}$

$\Box$

Die Funktion ${}g\colon [c,d]\rightarrow [a,b]$ nennt man in diesem Zusammenhang eine (orientierungserhaltende) Umparametrisierung. Der Satz besagt, dass das Wegintegral nur von dem durchlaufenen Weg (einschließlich der Richtung) abhängt, nicht aber von der Geschwindigkeit, mit der das passiert. Wenn die Funktion ${}g$ monoton fallend ist, so vertauschen sich bei der Substitution die Integrationsgrenzen und man erhält

${}\int _{\gamma }F=-\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$

Diese Beziehung gilt insbesondere, wenn der Weg ${}\gamma$ in umgekehrter Richtung durchlaufen wird.

Fußnoten