Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	4	2	2	3	4	3	0	4	0	0	0	0	30

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$.
2. Ein über einem Körper ${}K$ algebraisches Element ${}f\in A$ einer ${}K$-Algebra ${}A$.
3. Ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein diskreter Bewertungsring.
5. Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
6. Eine binäre quadratische Form.

Lösung

1. Das Produkt

   $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

   versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.

2. Das Element ${}f$ heißt algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.
3. Das Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.
4. Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.
5. Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt
6. Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt

   $aX^{2}+bXY+cY^{2}$

   mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
2. Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
3. Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name

Lösung

1. Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

   $\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$

   divergiert.
2. Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$. Dann ist die Lokalisierung

   $R_{\mathfrak {m}}$

   ein

   diskreter Bewertungsring.
3. Sei ${}R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von ${}R$ eine endliche Gruppe.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Lösung

Es ist stets ${}X^{k}-1$ ein Teiler von ${}X^{km}-1$, da ${}Y-1$ ein Teiler von ${}Y^{m}-1$ ist. Deshalb sind ${}2^{5}-1=31$ und ${}2^{7}-1=127$ Teiler von ${}2^{35}-1$. Das sind beide Primzahlen.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Lösung

1. Die Zahlen ${}3,13,23$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+10,x+20$ bei Division durch ${}3$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich ${}r+1$ bzw. ${}r+2$. Somit muss eine der drei Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}3$ sein. Da ${}x=3$ ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Lösung

Auf der einen Seite ist

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}=-8+12{\mathrm {i} }+6-{\mathrm {i} }=-2+11{\mathrm {i} }\,$

und

${}(-2-{\mathrm {i} })^{3}=-8-12{\mathrm {i} }+6+{\mathrm {i} }=-2-11{\mathrm {i} }\,,$

die Summe daraus ist ${}-4$. Auf der anderen Seite ist ${}(1+{\mathrm {i} })^{4}=1+4{\mathrm {i} }-6-4{\mathrm {i} }+1=-4$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Lösung

Es sei ${}a\in R$ eine Einheit. Dann gibt es ein ${}b\in R$ mit ${}ab=1$ und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

${}R^{\times }\subseteq R[X]^{\times }\,.$

Es sei nun

${}P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,$

($a_{d}\neq 0$) eine Einheit in ${}R[X]$. Dann gibt es ein Polynom

${}Q=\sum _{j=0}^{e}b_{j}X^{j}\,$

($b_{e}\neq 0$) mit

${}PQ=1\,.$

Da ${}R$ ein Integritätsbereich ist, ist ${}a_{d}b_{e}\neq 0$ und das Produkt hat die Gestalt

$a_{d}b_{e}X^{d+e}+{\text{Terme von kleinerem Grad}}.$

Daher ist

${}d+e=0\,$

und

${}a_{d}b_{e}=1\,,$

das Polynom ist also eine konstante Einheit.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Lösung

Betrachte das Polynom

${}P={\frac {X(X-1)}{2}}={\frac {X^{2}}{2}}-{\frac {X}{2}}\,.$

Die Koeffizienten liegen in ${}\mathbb {Q}$, aber nicht in ${}\mathbb {Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl ${}n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen ${}n$ und ${}n-1$ gerade. Also ist ${}P(n)={\frac {n(n-1)}{2}}$ ganzzahlig.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Lösung

a) Es ist

${}3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,$

daher ist

${}{\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,$

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen ${}a={\frac {3}{6}}$ und ${}b={\frac {4}{6}}$ und ${}c={\frac {1}{6}}$. Die Summe ist

${}a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.$

c) Wir setzen

${}a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;$

diese Zahl ist irrational, da ${}{\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt

${}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.$

Mit ${}c={\frac {1}{2}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Lösung

1. ${}(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left({\frac {383}{1000}}\right)}^{2}-{\left({\frac {129}{100}}\right)}^{3}+2&={\left({\frac {146689}{1000000}}\right)}-{\left({\frac {2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {146689-2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {-2000000}{1000000}}\right)}+2\\&=-2+2\\&=0.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${}\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{9}$ an.

Lösung

In ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist ${}2$ kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist ${}X^{2}-2=X^{2}+1\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring

$\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$

ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form ${}ax+b$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$) mit ${}a,b\in \mathbb {Z} /(3)$, so dass es sich um einen Körper mit ${}9$ Elementen handelt.

Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt ${}8$ Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung ${}8$. Wir betrachten das Element ${}x+1$. Es ist

${}(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1=2x+3=2x\neq 1\,$

und

${}(2x)^{2}=4x^{2}=x^{2}=2\neq 1\,.$

Daher ist die Ordnung von ${}x+1$ weder ${}1$ noch ${}2$ noch ${}4$, also muss sie gleich ${}8$ sein und es liegt ein primitives Element vor.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung