Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	3	3	2	0	5	0	5	10	0	0	0	0	36

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ring ${}R$.
2. Das Jacobi-Symbol.
3. Die Riemannsche Zetafunktion.
4. Die Norm zu einem Element ${}f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Eine quadratfreie Zahl.
6. Die Klassenzahl zu einem quadratischen Zahlbereich ${}R$.

Lösung

1. Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
   1. ${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
   2. ${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
   3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$.
2. Für eine ungerade Zahl ${}n$ und eine ganze Zahl ${}k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{n}}\right)$, wie folgt. Es sei ${}n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$. Dann setzt man

   ${}\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.$

3. Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch

   ${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

   definiert.

4. Zu ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$-linearen Abbildung

   $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

   die Norm von ${}f$.

5. Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
6. Man nennt die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von ${}R$ die Klassenzahl von ${}R$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
2. Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
3. Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.

Lösung

1. Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.
2. Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

   $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

   und

   $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

3. Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal

   ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

   mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten

   ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Lösung

Modulo ${}12$ ist

${}1457=257=17=5\,$

und daher ist in ${}\mathbb {Z} /(13)$

${}3^{1457}=3^{5}=9\cdot 9\cdot 3=9\cdot 27=9\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5+2{\mathrm {i} }$ und ${}3+7{\mathrm {i} }$.

Lösung

Wir setzen ${}a=5+2{\mathrm {i} }$ und ${}b=3+7{\mathrm {i} }$ und führen die Division mit Rest ${}a$ durch ${}b$ durch. Es ist (in ${}{\mathbb {C} }$)

${}{\frac {a}{b}}={\frac {5+2{\mathrm {i} }}{3+7{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+2{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}{(3+7{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}}={\frac {29-29{\mathrm {i} }}{58}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\,.$

Für diese Zahl ist ${}0$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also ${}q=0$ und erhalten ${}a=0b+a$. Wir drehen also die Sache um und erhalten

${}{\frac {b}{a}}={\frac {3+7{\mathrm {i} }}{5+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(3+7{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}{(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}}={\frac {29+29{\mathrm {i} }}{29}}=1+{\mathrm {i} }\,.$

Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und ${}a$ teilt daher ${}b$. Also ist ${}a=5+2{\mathrm {i} }$ der größte gemeinsame Teiler.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$

das Produkt

$(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Lösung

Es ist

${}x^{3}=3x^{2}+6x+2\,$

und

${}{\begin{aligned}x^{4}&=x(3x^{2}+6x+2)\\&=3x^{3}+6x^{2}+2x\\&=3(3x^{2}+6x+2)+6x^{2}+2x\\&=x^{2}+6x+6.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)&=6x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+5x+4\\&=6(x^{2}+6x+6)+3(3x^{2}+6x+2)+5x^{2}+5x+4\\&=6x^{2}+3x+4.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Lösung

Es gilt generell die Zerlegung

${}n^{2}-1=(n-1)(n+1)\,.$

Bei ${}n\geq 3$ sind beide Faktoren ${}\geq 2$ und daher kann ${}n^{2}-1$ nicht prim sein. Bei ${}n=2$ ist

${}2^{2}-1=3\,$

eine Primzahl. Bei ${}n=0,1$ liegt keine Primzahl vor.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen.

Lösung

Wir ziehen Fakt heran, wonach eine ungerade Primzahl ${}p$ genau dann den Rest ${}1$ modulo ${}4$ besitzt, wenn ${}-1$ eine Quadratwurzel in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom

${}f(x)=x^{2}+1\,.$

Die Zahl

${}f(2p_{1}\cdots p_{k})=4(p_{1}\cdots p_{k})^{2}+1\,$

besitzt einen Primteiler ${}q$, der von allen ${}p_{i}$ und von ${}2$ verschieden ist. Es ist

${}f(2p_{1}\cdots p_{k})=0\mod q\,.$

Doch dies bedeutet, dass ${}f(x)$ eine Nullstelle modulo ${}q$ besitzt und somit ist ${}-1$ ein Quadrat modulo ${}q$, also hat ${}q$ den Rest ${}1$ modulo ${}4$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit ${}6$ Elementen.

Lösung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei ${}\mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Ringhomomorphismus, der ${}1$ auf ${}1$ schickt. Die (additive) Ordnung der ${}1$ in ${}R$ (also die Charakteristik von ${}R$) ist ein Teiler von ${}6$. Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung ${}2$ (oder ${}3$) wäre ${}R$ eine ${}{\mathbb {F} }_{2}$ (bzw. ${}{\mathbb {F} }_{3}$-)Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung ${}6$ und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also ${}R\cong \mathbb {Z} /(6)$, und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Lösung

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von ${}x$ erzeugte ${}R$-Unteralgebra ${}R[x]$ von ${}S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in ${}x$ mit Koeffizienten aus ${}R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$

ergibt sich

${}x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$

Man kann also ${}x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit ${}x^{i}$ kann man jede Potenz von ${}x$ mit einem Exponenten ${}\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ${}\leq n-1$ ersetzen. Damit ist

${}R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$

und die Potenzen ${}x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von ${}T=R[x]$.

(2) ${}\Rightarrow$ (3). Sei ${}x\in T\subseteq S$, ${}T$ eine ${}R$-Unteralgebra, die als ${}R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist ${}xT\subseteq T$, und ${}T$ enthält den Nichtnullteiler ${}1$.

(3) ${}\Rightarrow$ (1). Sei ${}M\subseteq S$ ein endlich erzeugter ${}R$-Untermodul mit ${}xM\subseteq M$. Es seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$. Dann ist insbesondere ${}xy_{i}$ für jedes ${}i$ eine ${}R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet

${}xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$

mit ${}r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,

${}x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}S$), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ (${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt ${}((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also ${}(\det A)y_{j}=0$ für alle ${}j$ und damit

${}(\det A)z=0\,$

für alle ${}z\in M$. Da ${}M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss ${}\det A=0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${}x$ vom Grad ${}n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

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