Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Einführung/Textabschnitt


Zu einer integrierbaren Funktion nennt man die Funktion

die durch

definiert ist, die Fourier-Transformation von .

Der Vorfaktor wird häufig auch anders gewählt, weggelassen oder mit dem Maß verarbeitet. Auch die Bezeichnung der Variablen wird sehr unterschiedlich gehandhabt. Einer integrierbaren komplexwertigen Funktion wird also eine andere Funktion zugeordnet. Eine physikalische Interpretation ist, dass beispielsweise bei eine zeitabhängige nichtperiodische (beispielsweise gedämpfte) Schwingung ist und bzw. dessen Betrag angibt, wie stark die Frequenz in vorkommt.

Die Fourier-Transformation ist zunächst für integrierbare Funktionen definiert und liefert eine Funktion, von der wir noch keine Eigenschaft kennen. Da das definierende Integral sich nicht ändert, wenn man auf einer Nullmenge abändert, ist die Fourier-Transformation auf definiert.

Sei . Es ist dann

ein Element des komplexen Einheitskreises. Wenn man fixiert und varieren lässt, handelt es sich um eine Bewegung auf dem komplexen Einheitskreis, wobei angibt, mit welcher Frequenz der Kreis durchlaufen wird. Wenn zusätzlich eine -wertige Funktion gegeben ist, so kann man den Integranden in der Fouriertransformation

so verstehen, dass eine durch getakte Kreisbewegung mit dem variablen Radius durchgeführt wird. Das Integral dieser Bewegung über berechnet den durchschnittlichen Aufenthaltsort der Bewegung. Dass ein solcher Durchschnitt existiert, setzt voraus, dass integrierbar ist, also abklingt, für geht der Radius gegen . Man erwartet im Allgemeinen, dass dieser durchschnittliche, über die Zeit gemittelte, Aufenthaltsort nahe beim Nullpunkt liegt, da sich ja die verschiedenen Auslenkungen bei einem Kreisumlauf, wenn der Radius sich dabei nicht stark ändert, weitgehend wegheben. Wenn es hingegen eine gewisse Synchronizität zwischen der Kreisbewegung und der Auslenkungsbewegung gibt, so erwartet man, dass der Durchschnittswert diese Auslenkung widerspiegelt.




Die Fourier-Transformation

ist linear.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Es sei fixiert. Wir betrachten die Funktion

Es ist



Es sei fixiert. Wir betrachten die Funktion

Es ist unter Verwendung von Beispiel



Sei fixiert und sei die Indikatorfunktion zum Intervall . Dann ist für

Bei ist direkt , was sich auch bei stetiger Fortsetzung des allgemeinen Ausdrucks ergibt.




Für die Fourier-Transformation gelten die folgenden Rechenregeln.

  1. Zu und ist
  2. Zu ist
  3. Zu

    und reelles ist

  1. Es ist
  2. Es ist wegen der Translationsinvarianz
  3. Mit ist



Für die Fourier-Transformation von

gilt

D.h. die Dichte der Normalverteilung ist ein Fixpunkt für die Fourier-Transformation.

Mit quadratischer Ergänzung ist

Daher ist mit Fakt

wobei im Integral wegen der Symmetrie der Imaginärteil gleich ist.



Es seien integrierbare Funktionen.

Dann gilt für die Fourier-Transformation der Faltung die Beziehung

Nach Fakt (für Dichten) angewendet auf die Addition und Fakt ist



Die Fourier-Transformation einer integrierbaren Funktion

ist gleichmäßig stetig.

Sei vorgegeben. Es sei

Zu gibt es nach Aufgabe einen abgeschlossenen Ball mit

Wir setzen . Dann gilt für mit nach Aufgabe die Abschätzung

und damit



Es sei eine Funktion und sei . Für jedes Tupel mit sei integrierbar.

Dann ist die Fourier-Transformierte von in Richtung partiell differenzierbar und es gilt

Mit Induktion genügt es, die Aussage für zu zeigen. Unter Verwendung von Fakt, angewendet auf das Maß und die Funktion , ist


Es liegt also unter den formulierten Voraussetzungen ein kommutatives Diagramm

vor, wobei die Definitionsbereiche nicht die gesamte Abbildungsmenge sind.