Galoiskorrespondenz/Endliche Körpererweiterung/Textabschnitt
Der folgende Satz heißt auch Hauptsatz der Galoistheorie oder Satz über die Galoiskorrespondenz. Er stiftet eine unmittelbare Beziehung zwischen den Zwischenkörpern einer endlichen Galoiserweiterung und Untergruppen der Galoisgruppe. Er bildet die Grundlage dafür, gruppentheoretische Aussagen auf Körpererweiterungen anzuwenden.
Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe .
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper , , und der Menge der Untergruppen von .
Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.
Diese Abbildungen sind wohldefiniert und kehren nach
Fakt
die Inklusion um.
Es sei ein Zwischenkörper. Nach
Fakt
ist
eine Galoiserweiterung, also ist
nach
Fakt.
Es sei nun vorgegeben mit dem Fixkörper
.
Nach dem
Satz von Artin
ist
eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe
.
Für einen Automorphismus und einen Zwischenkörper
, ,
ist
wieder ein Zwischenkörper, der zu
-isomorph
ist. Zwischen den zugehörigen Galoisgruppen
und
gilt die folgende Beziehung.
Es sei eine endliche Galoiserweiterung und sei , , ein Zwischenkörper. Es sei und .
Dann gilt in der Galoisgruppe die Beziehung
Es sei . Wir schreiben und müssen zeigen, dass zu gehört. Es sei dazu . Dann ist . Dabei gehört und somit ist . Also ist
Die umgekehrte Inklusion ergibt sich genauso bzw. folgt direkt daraus, dass beide Gruppen die gleiche Anzahl besitzen.
Es sei eine endliche Galoiserweiterung und sei , , ein Zwischenkörper. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Für alle ist .
- Die Untergruppe ist nur zu sich selbst konjugiert.
Beweis
Wir wissen nach
Fakt,
dass bei einer Galoiserweiterung
und einem Zwischenkörper
auch die hintere Erweiterung
galoissch ist. Die Erweiterung
muss hingegen nicht galoisch sein, vielmehr liefert die folgende Aussage ein Kriterium.
Es sei eine endliche Galoiserweiterung und , , ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Körpererweiterung ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn die Untergruppe ein Normalteiler ist.
- Sei
eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung
Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus auf eingeschränkt.
(1). Da die Körpererweiterung
separabel
ist, muss aufgrund von
Fakt
nur die Normalität betrachtet werden. Nach
Fakt (4)
ist die Körpererweiterung
genau dann normal, wenn jeder
-Automorphismus
von den Unterkörper in sich selbst überführt. Dies ist wegen
Fakt
genau dann der Fall, wenn unter jeder
Konjugation
auf sich selbst abgebildet wird, also nach
Fakt
ein
Normalteiler
ist.
(2). Es sei nun
normal. Dann ist
für jedes und somit gibt es eine natürliche Abbildung
Diese ist offensichtlich ein
Gruppenhomomorphismus.
Aufgrund von
Fakt
gibt es für einen Automorphismus eine Fortsetzung zu einem Automorphismus . Daher ist der Gruppenhomomorphismus
surjektiv.
Der
Kern
davon ist offenbar , sodass sich die behauptete Isomorphie aus
Fakt
ergibt.