Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Anzahl/Textabschnitt

Unter der Gesamtvielfachheit (der Nullstelle, oder Gesamtnullstellenordnung) einer (von ${}0$ verschiedenen) holomorphen Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ versteht man die Summe der Ordnungen ${}\sum _{P\in U}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$. Wenn alle Nullstellen von ${}f$ innerhalb einer kompakten Teilmenge von ${}U$ liegen, so ist diese Summe endlich. Die Gesamtvielfachheit eines beliebigen Wertes ${}w$ unter ${}f$ ist die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von ${}f-w$. Wir besprechen hier einige Gesetzmäßigkeiten über die Gesamtvielfachheit, die wir für den Beweis des riemannschen Abbildungssatzes benötigen. Die folgende Aussage ist ein Spezialfall des Satzes von Rouché.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien ${}B\left(P_{i},r_{i}\right)$, ${}i=1,\ldots ,k$, zueinander disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben in ${}U$. Es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf ${}U$, die auf den Rändern der Kreisscheiben die Abschätzung ${}\vert {g(z)}\vert <\vert {f(z)}\vert$ erfüllen.

Dann stimmen die Gesamtvielfachheiten der Nullstellen von ${}f$ und von ${}f+g$ auf der Vereinigung der Kreisscheiben überein.

Beweis

Wir können uns auf eine einzelne Kreisscheibe ${}B\left(P,r\right)$ konzentrieren, es sei ${}\gamma$ die Standardumrundung. Nach Voraussetzung haben weder ${}f$ noch ${}f+g$ Nullstellen auf dem Rand. Nach Fakt ist die Gesamtnullstellenordnung von ${}f$ in ${}U{\left(P,r\right)}$ gleich ${}\sum _{Q\in U{\left(P,r\right)}}\operatorname {Res} _{Q}\left({\frac {f'}{f}}\right)$, wobei die relevante Summe endlich ist. Nach Fakt sind diese Residuen gleich dem ${}2\pi {\mathrm {i} }$-fachen der Windungszahl von ${}f\circ \gamma$ um den Nullpunkt. Die Wege ${}f\circ \gamma$ und ${}(f+g)\circ \gamma$ sind zueinander homotop in ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nämlich über die Homotopie

$[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(s,t)\longmapsto f(\gamma (s))+tg(\gamma (s)),$

wobei die Voraussetzung sichert, dass sich alles in ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ abspielt. Nach Fakt  (1) stimmen die Windungszahlen von ${}f\circ \gamma$ und von ${}(f+g)\circ \gamma$ überein.

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Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei

$f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert. Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$ und für jedes ${}f_{n}$ sei die Gesamtvielfachheit der ${}w$-Stellen höchstens ${}m$.

Dann ist ${}f$ konstant gleich ${}w$, oder die Gesamtvielfachheit von ${}w$ unter ${}f$ ist ebenfalls höchstens ${}m$.

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}w=0$ und sei die Grenzfunktion ${}f$ nicht die Nullfunktion, die Gesamtvielfachheit von ${}0$ unter ${}f$ sei aber zumindest ${}m+1$. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ die Nullstellen von ${}f$, die zu dieser Gesamtvielfachheit beitragen (es könnte noch weitere, auch unendlich viele Nullstellen geben). Nach Fakt liegen die Nullstellen diskret, es sei ${}r>0$ derart, dass es in ${}B\left(P_{i},r\right)$ außer ${}P_{i}$ keine weitere Nullstellen gibt, diese untereinander disjunkt sind und in ${}U$ enthalten sind. Es sei ${}B$ das (positive) Minimum von ${}\vert {f}\vert$ auf der Vereinigung der Ränder der Kreisscheiben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von ${}f_{n}$ gegen ${}f$ auf dieser Vereinigung ist für ${}n$ hinreichend groß

${}\vert {f(z)-f_{n}(z)}\vert \leq {\frac {B}{2}}\,.$

Wir können dann auf

${}f_{n}=f+(f_{n}-f)\,$

Fakt anwenden und erhalten, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von ${}f_{n}$ ebenfalls ${}\geq m+1$ ist im Widerspruch zur Voraussetzung.

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Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei

$f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine Folge von injektiven holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert.

Dann ist ${}f$ konstant oder injektiv.

Beweis

Nach Fakt folgt aus injektiv, dass die Ableitung keine Nullstelle besitzt. Daher wird jeder Wert höchstens mit der Gesamtvielfachheit ${}1$ angenommen. Daher ist dies der Spezialfall von Fakt für ${}m=1$.

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