Geometrisches Vektorbündel/Lokal freie Garbe/Korrespondenz/Textabschnitt
Definition
Zu einem geometrischen Vektorbündel auf einem Schema nennt man die zu einer offenen Teilmenge durch
definierte Garbe die Garbe der Schnitte in .
Lemma
Zu einem geometrischen Vektorbündel
ist die Garbe der Schnitte eine lokal freie Garbe.
Beweis
Durch die Addition
gibt es aufgrund von Aufgabe eine wohldefinierte Addition auf der Garbe der Schnitte, wodurch wegen Aufgabe zu einer Garbe von kommutativen Gruppen wird. Durch die Skalarmultipliaktion
erhält man eine -Modulstruktur auf . Zu einer offenen Menge mit ist
und ist lokal frei.
Geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben sind im Wesentlichen äquivalente Objekte.
Satz
Auf einem Schema
entsprechen sich geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben. Ferner entsprechen sich Vektorbündelhomomorphismen und -Modulhomomorphismen.
Einem geometrischen Vektorbündel über wird dabei die nach Fakt lokal freie Garbe der Schnitte zugeordnet und einem Vektorbündelhomomorphismus wird der Modulhomomorphismus zugeordnet, der einen Schnitt auf den Schnitt abbildet.
Beweis
Wir zeigen zuerst, dass jede lokal freie Garbe isomorph zu einer Garbe der Schnitte in einem Vektorbündel ist. Eine lokal freie Garbe vom Rang ist durch eine offene Überdeckung (wobei wir die als affin annehmen können) und Isomorphismen
gegeben. Die Hintereinanderschaltung
ist nach Fakt durch mit
gegeben. Dabei ist mit
Ferner ist die Determinante der Matrix eine Einheit in Dies definiert über
einen linearen -Algebraisomorphismus
und einen Schemaisomorphismus
der von der in der Definition eines geometrischen Vektorbündels geforderten Form ist. Wir betrachten das Verklebungsdatum von beringten Räumen
Die Kozykelbedingung ist dabei erfüllt, da die Daten von dem globalen Objekt herrühren. Aufgrund von Fakt gibt es ein Schema , das dieses Verklebungsdatum realisiert. Die lokalen Projektionen
verkleben dabei zu einem Schemamorphismus
Aufgrund der Konstruktion handelt es sich um ein geometrisches Vektorbündel über . Es sei die Garbe der Schnitte zu . Wir behaupten, dass es einen natürlichen Isomorphismus
gibt. Wegen der Konstruktion gibt es natürliche Garbenisomorphismen
für jede offene Menge , und deren Einschränkungen auf die Durchschnitte stimmen überein. Nach Fakt gibt es daher einen globalen Garbenhomomorphismus, und dieser ist nach Fakt ein Isomorphismus.
Die Injektivität der Zuordnung ergibt sich, da sich ein Vektorbündel (bis auf Isomomorphie) durch seine Garbe der Schnitte durch die beschriebene Konstruktion rekonstruieren lässt. Für die Aussage über die Homomorphismen siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
Die freie Garbe vom Rang entspricht unter dieser Äquivalenz dem affinen Raum über .