Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {Z}$, von ${}R$-Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismen

$d_{n}\colon M_{n+1}\longrightarrow M_{n}$

mit der Eigenschaft

${}d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$

für alle ${}n\in \mathbb {Z}$.

Dies bedeutet, dass an jeder Stelle

${}\operatorname {bild} d_{n}\subseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$

gilt.

Definition

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle ${}n$, wenn

${}\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.

Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle

${}\operatorname {bild} d_{n}\supseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$

gilt.

Definition

Zu einem Kettenkomplex ${}G_{\bullet }$ nennt man

${}H_{n}=H_{n}(G_{\bullet }):=\operatorname {kern} d_{n-1}/\operatorname {bild} d_{n}\,$

die ${}n$-te Homologie des Komplexes.

Definition

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Unter einem Homomorphismus

$\varphi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$

versteht man eine Familie

$\varphi _{n}\colon F_{n}\longrightarrow G_{n}$

von Gruppenhomomorphismen, die mit den Komplexabbildungen kommutieren (es gilt also ${}\varphi _{n}\circ d_{n}=e_{n}\circ \varphi _{n-1}$ für alle ${}n$).

Lemma

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen.

Dann induziert ein Homomorphismus

$\varphi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$

von Kettenkomplexen einen Homomorphismus in der Homologie,

$H(\varphi )\colon H(F_{\bullet })\longrightarrow H(G_{\bullet }).$

Es gibt also für jedes ${}n$ einen Gruppenhomomorphismus

$H_{n}(\varphi )\colon H_{n}(F_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(G_{\bullet }).$

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow \varphi _{n+1}\!\!\!\!\!&&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Dabei wird der Kern von ${}d_{n+1}$ unter ${}\varphi _{n}$ in den Kern von ${}e_{n+1}$ abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus

$\varphi _{n}\colon \operatorname {kern} d_{n+1}\longrightarrow \operatorname {kern} e_{n+1}$

wird das Bild von ${}d_{n}$ in das Bild von ${}e_{n}$ abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

$H_{n}(F_{\bullet })=\operatorname {kern} d_{n+1}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow H_{n}(G_{\bullet })=\operatorname {kern} e_{n+1}/\operatorname {bild} e_{n}.$

$\Box$

Lemma

Es seien ${}C_{\bullet }$, ${}D_{\bullet }$ und ${}E_{\bullet }$ Komplexe in einer abelschen Kategorie mit Homomorphismen von Komplexen ${}\varphi \colon C_{\bullet }\rightarrow D_{\bullet }$ und ${}\psi \colon D_{\bullet }\rightarrow E_{\bullet }$ derart, dass kurze exake Sequenzen

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

für jedes ${}n$ vorliegen.

Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus

$H^{n-1}(E_{\bullet })\longrightarrow H^{n}(C_{\bullet }).$

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}0&\longrightarrow &C_{n-1}&\longrightarrow &D_{n-1}&\longrightarrow &E_{n-1}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n}&\longrightarrow &D_{n}&\longrightarrow &E_{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n+1}&\longrightarrow &D_{n+1}&\longrightarrow &E_{n+1}&\longrightarrow &0.\\\end{matrix}}$

Ein Element ${}x\in H^{n-1}(E_{\bullet })$ wird repräsentiert durch ein Element ${}y\in E_{n-1}$, das unter der rechten vertikalen Abbildung auf ${}0$ abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der ${}n-1$-ten Zeile gibt es ein

${}z\in D_{n-1}\,,$

das auf ${}y$ abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element ${}u$ abgebildet, das nach rechts auf ${}0$ geht. Wegen der Exaktheit der ${}n$-ten Zeile ist ${}u=v\in C_{n}$. Da ${}u$ auf ${}0$ in ${}D_{n+1}$ abgebildet wird, und da ${}C_{n+1}\rightarrow D_{n+1}$ injektiv ist, folgt, dass ${}v$ auf ${}0$ in ${}C_{n+1}$ abgebildet wird. Daher definiert ${}v$ eine Klasse in ${}H^{n}(C_{\bullet })$.

$\Box$

Definition

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Man nennt zwei Homomorphismen von Kettenkomplexen

$\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$

homotop, wenn es Gruppenhomomorphismen

$\Theta _{n}\colon F_{n+1}\longrightarrow G_{n}$

mit

${}\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,$

gibt.

Es liegt also ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &\Theta _{n}\swarrow &\downarrow &&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

vor. Die ${}\Theta _{n}$ nennt man Homotopien.

Lemma

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen und es seien

$\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$

homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen.

Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen

${}H(\varphi )=H(\psi )\,.$

Beweis

Es seien ${}\Theta _{n}$ die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen ${}\varphi$ und ${}\psi$ bewirken. Sei ${}x\in \operatorname {kern} \left(d_{n+1}\right)$. Dann ist

${}{\begin{aligned}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)&=(e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1})(x)\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))+\Theta _{n}(d_{n+1}(x))\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))\\&\in \operatorname {bild} {\left(e_{n}\right)}.\end{aligned}}$

Somit ist die Klasse von ${}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)$ in ${}H^{n}(G_{\bullet })$ gleich ${}0$ und ${}\varphi _{n}(x)=\psi _{n})(x)$.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Es seien

$\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$

homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein additiver kovarianter Funktor von der Kategorie der kommutativen Gruppen in die Kategorie der kommutativen Gruppen.

Dann sind auch die induzierten Homomorphismen

${\mathcal {F}}(\varphi ),{\mathcal {F}}(\psi )\colon {\mathcal {F}}(F_{\bullet })\longrightarrow {\mathcal {F}}(G_{\bullet })$

zueinander homotop.

Beweis

Es seien ${}\Theta _{n}$ die Homotopien zwischen ${}F_{\bullet }$ und ${}G_{\bullet }$, die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also

${}\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$

Wegen der Additivität des Funktors gilt auch

${}{\mathcal {F}}(\varphi _{n})-{\mathcal {F}}(\psi _{n})={\mathcal {F}}(e_{n})\circ {\mathcal {F}}(\Theta _{n-1})+{\mathcal {F}}(\Theta _{n})\circ {\mathcal {F}}(d_{n+1})\,.$

$\Box$

Es sei ${}I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge ${}K\subseteq I$ und einem Element ${}k\in K$ definieren wir ${}\operatorname {ord} {\left(k,K\right)}$ durch ${}1$ bzw. ${}-1$, je nachdem, ob ${}k$ in der induzierten Ordnung auf ${}K$ ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von ${}K$ haben also abwechselnd das Vorzeichen ${}1,-1,1$ etc, beginnend mit ${}1$. Wir betrachten die freie Gruppe ${}F_{n}$ zur Basis ${}e_{J}$, wobei ${}J$ die ${}n$-elementigen Teilmengen von ${}I$ durchläuft. Es ist also

${}F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}\,,$

wobei wir mit ${}{\binom {I}{n}}$ die Menge der ${}n$-elementigen Teilmengen von ${}I$ bezeichnen.

Definition

Es sei ${}I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf ${}F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen ${}d\colon F_{n}\rightarrow F_{n-1}$ durch

${}d{\left(e_{K}\right)}:=\sum _{k\in K}\operatorname {ord} {\left(k,K\right)}e_{K\setminus \{k\}}\,$

und nennen ${}{\left(F_{\bullet },d\right)}$ den absteigenden Binomialkomplex.

Definition

Es sei ${}I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf ${}F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen ${}\delta \colon F_{n}\rightarrow F_{n+1}$ durch

${}{\left(\delta {\left(\alpha \right)}\right)}_{J}:=\sum _{j\in J}\operatorname {ord} {\left(j,J\right)}\alpha _{J\setminus \{j\}}\,$

für ${}n+1$-elementiges ${}J$ und nennen ${}{\left(F_{\bullet },\delta \right)}$ den aufsteigenden Binomialkomplex.

Für einen Standardvektor ${}e_{K}$ bedeutet dies

${}\delta (e_{K})=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\,.$

In diesem Fall entspricht ${}e_{K}$ dem Tupel ${}\alpha$, das genau an der Stelle ${}K$ eine ${}1$ und sonst überall eine ${}0$ stehen hat. Sagen wir ${}K$ besitzt ${}n$ Elemente. Für eine ${}n+1$-elementige Menge ${}J$ ist somit ${}\delta (\alpha )_{J}=0$, falls ${}K\not \subseteq J$, und im anderen Fall ist

${}J=K\cup \{\ell \}\,$

und nur bei ${}j=\ell$ ist das ${}e_{K\cup \{\ell \}}$.

Lemma

Der aufsteigende Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge ${}I$

ist exakt.

Beweis

Es sei ${}0$ das kleinste Element von ${}I$. Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus

$h\colon F_{n}\longrightarrow F_{n-1}$

durch

${}h(e_{J}):={\begin{cases}e_{J\setminus \{0\}},\,{\text{ falls }}0\in J\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Wir behaupten

${}\delta \circ h+h\circ \delta =\operatorname {Id} \,.$

Es sei dazu ${}e_{K}$ gegeben. Bei ${}0\notin K$ ist

${}\delta (h(e_{K}))=0\,$

und

${}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\operatorname {ord} {\left(0,K\cup \{0\}\right)}e_{K}\end{aligned}}$

und bei ${}0\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\delta {\left(h(e_{K})\right)}&=\delta {\left(e_{K\setminus \{0\}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus (K\setminus \{0\})}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+\operatorname {ord} {\left(0,K\right)}e_{K}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+e_{K}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}\setminus \{0\}}.\end{aligned}}$

Da ${}0$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich ${}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}$ und ${}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}$ um das Vorzeichen.

Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen

${}0=H(0)=H(\operatorname {Id} )=\operatorname {Id} \,$

und daher sind die Homologien trivial.

$\Box$

Bei leerem ${}I$ ist der Komplex gleich ${}0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow 0$ und daher nicht exakt.