Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge , , von -Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismen
mit der Eigenschaft
für alle .
Dies bedeutet, dass an jeder Stelle
gilt.
Definition
Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle , wenn
gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.
Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle
gilt.
Definition
Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Unter einem Homomorphismus
versteht man eine Familie
von Gruppenhomomorphismen, die mit den Komplexabbildungen kommutieren (es gilt also für alle ).
Lemma
Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen.
Dann induziert ein Homomorphismus
von Kettenkomplexen einen Homomorphismus in der Homologie,
Es gibt also für jedes einen Gruppenhomomorphismus
Beweis
Wir betrachten das kommutative Diagramm
Dabei wird der Kern von unter in den Kern von abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus
wird das Bild von in das Bild von abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
Lemma
Es seien , und Komplexe in einer abelschen Kategorie mit Homomorphismen von Komplexen und derart, dass kurze exake Sequenzen
für jedes vorliegen.
Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus
Beweis
Wir betrachten das kommutative Diagramm
Ein Element wird repräsentiert durch ein Element , das unter der rechten vertikalen Abbildung auf abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der -ten Zeile gibt es ein
das auf abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element abgebildet, das nach rechts auf geht. Wegen der Exaktheit der -ten Zeile ist . Da auf in abgebildet wird, und da injektiv ist, folgt, dass auf in abgebildet wird. Daher definiert eine Klasse in .
Definition
Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Man nennt zwei Homomorphismen von Kettenkomplexen
homotop, wenn es Gruppenhomomorphismen
mit
gibt.
Es liegt also ein kommutatives Diagramm
vor. Die nennt man Homotopien.
Lemma
Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen und es seien
homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen.
Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen
Beweis
Es seien die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen und bewirken. Sei . Dann ist
Somit ist die Klasse von in gleich und .
Lemma
Es seien und Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Es seien
homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen. Es sei ein additiver kovarianter Funktor von der Kategorie der kommutativen Gruppen in die Kategorie der kommutativen Gruppen.
Dann sind auch die induzierten Homomorphismen
zueinander homotop.
Beweis
Es seien die Homotopien zwischen und , die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also
Wegen der Additivität des Funktors gilt auch
Es sei eine
total geordnete
endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge
und einem Element
definieren wir durch bzw. , je nachdem, ob in der induzierten Ordnung auf ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von haben also abwechselnd das Vorzeichen etc, beginnend mit . Wir betrachten die freie Gruppe zur Basis , wobei die -elementigen Teilmengen von durchläuft. Es ist also
wobei wir mit die Menge der -elementigen Teilmengen von bezeichnen.
Definition
Es sei eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf zu definieren wir Gruppenhomomorphismen durch
und nennen den absteigenden Binomialkomplex.
Definition
Es sei eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf zu definieren wir Gruppenhomomorphismen durch
für -elementiges und nennen den aufsteigenden Binomialkomplex.
Für einen Standardvektor bedeutet dies
In diesem Fall entspricht dem Tupel , das genau an der Stelle eine und sonst überall eine stehen hat. Sagen wir besitzt Elemente. Für eine -elementige Menge ist somit , falls , und im anderen Fall ist
und nur bei ist das .
Lemma
Der aufsteigende Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge
ist exakt.
Beweis
Es sei das kleinste Element von . Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus
durch
Wir behaupten
Es sei dazu gegeben. Bei ist
und
und bei ist
und
Da das Anfangsglied ist, unterscheiden sich und um das Vorzeichen.
Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen
und daher sind die Homologien trivial.
Bei leerem ist der Komplex gleich und daher nicht exakt.