Kurs:Algebraische Kurven/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	4	6	6	4	3	4	5	6	3	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
2. Eine irreduzible affin-algebraische Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
3. Ein noetherscher Ring.
4. Der Monoidring zu einem kommutativen Monoid ${}M$ und einem Körper ${}K$.
5. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung ${}R\subseteq S$ kommutativer Ringe.
6. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in einem Punkt ${}P$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
2. Der Satz über die Integrität von Monoidringen.
3. Der Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde eine Gerade ${}G\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$, die die Kurve

${}C=V(X^{3}+Y^{3}+1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

in genau einem Punkt schneidet.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}p\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis ${}A$ bei der Durchführung eines Experiments eintritt, und entsprechend sei ${}1-p$ die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt. Das Experiment werde zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse ${}(A,A),(A,\neg A),(\neg A,A),(\neg A,\neg A)$ haben dann eine von ${}p$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{4}},\,p\longmapsto \left(p^{2},\,p(1-p),\,(1-p)p,\,(1-p)^{2}\right)=\left(x,\,y,\,z,\,w\right),$

auf.

1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.

Aufgabe * (6 (1+3+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

${}F=X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1\,.$

1. Finde eine reelle Nullstelle von ${}F$.
2. Bestätige die Gleichung

   ${}{\begin{aligned}F\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)&=(X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}\\\,\end{aligned}}$

3. Sei ${}K=\mathbb {R}$. Folgere, dass

   ${}F(x,y)\geq 0\,$

   ist für alle Punkte ${}(x,y)\in {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Parametrisierung von Quadriken.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ überabzählbar viele Unterringe besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die geometrische Form des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Polynome ${}X^{2}+Y^{2}$ und ${}X^{2}-Y^{3}$ und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$.

1. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$?
2. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$?
3. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}\mathbb {R} [X,Y]$?
4. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Reduktion ${}S$. Zeige, dass die Abbildung, die den idempotenten Elementen aus ${}R$ ihre Restklasse in ${}S$ zuordnet, injektiv ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man beschreibe einen ${}K$- Algebrahomomorphismus derart, dass die induzierte Spektrumsabbildung der ${}K$- Spektren die Addition auf ${}K$ beschreibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Ein Geldfälscher stellt ${}7$-, ${}11$-, ${}13$- und ${}37$-Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(5)$ und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven

$C=V{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}{\text{ und }}D=V{\left(X^{3}-2Y^{2}+3\right)}.$

Bestimme den Durchschnitt ${}C\cap D$. Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf dem projektiven Abschluss ${}{\bar {C}}$ bzw. ${}{\bar {D}}$). Wenn man ${}K$ durch einen algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K\subset L$ ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt ${}{\bar {C}}\cap {\bar {D}}$ und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?