Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 16

Irreduzible Filter

Einen Filter kann man mit dem, was in ihm hängen bleibt, identifizieren.

Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass zu einem Punkt ${}P$ in einem ${}K$-Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ der Umgebungsfilter gehört und dass der Halm in diesem Filter gleich der Lokalisierung von ${}R$ an dem zugehörigen maximalen Ideal ist. Ebenfalls haben wir gesehen, dass bei integrem ${}R$ der Halm über alle nichtleeren offenen Mengen den Quotientenkörper von ${}R$ liefert, der wiederum die Lokalisierung am Nullideal ist. Dieser Zusammenhang wird mit dem Begriff des irreduziblen Filters verallgemeinert.

Definition

Ein topologischer Filter ${}F$ heißt irreduzibel, wenn ${}\emptyset \not \in F$ und folgendes gilt: Sind ${}U,V$ zwei offene Mengen mit ${}U\cup V\in F$, so ist ${}U\in F$ oder ${}V\in F$.

Für Zariski-Filter (also topologische Filter in der Zariski-Topologie) gilt folgender Zusammenhang.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ mit ${}K$- Spektrum ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.

Dann entsprechen sich folgende Objekte.

1. Primideale in ${}R$.
2. Irreduzible abgeschlossene Teilmengen von ${}X$.
3. Irreduzible Filter in ${}X$.

Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge ${}Y\subseteq X$ der Filter

${}F(Y)={\left\{U\subseteq X\mid U\cap Y\neq \emptyset \right\}}\,.$

Der Halm der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$, wobei ${}{\mathfrak {p}}$ das zugehörige Primideal bezeichnet.

Beweis

Die Korrespondenz zwischen Primidealen und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen (zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gehört die irreduzible abgeschlossene Teilmenge $V({\mathfrak {p}})$) ist bekannt (siehe Lemma 4.2 und Proposition 11.10). Die angegebene Konstruktion zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge ${}Y$ liefert in der Tat einen irreduziblen Filter. Dabei ist die Irreduzibilität trivial, zu zeigen ist lediglich die Durchschnittseigenschaft eines Filters. Es seien ${}U,V\in F=F(Y)$, sodass also die Durchschnitte ${}Y\cap U$ und ${}Y\cap V$ nicht leer sind. Dann ist aber wegen der Irreduzibilität von ${}Y$ auch der Durchschnitt

${}(Y\cap U)\cap (Y\cap V)=Y\cap (U\cap V)\,$

nicht leer und daher ist ${}U\cap V\in F$.

Es sei nun ${}F$ irgendein irreduzibler topologischer Filter. Wir behaupten, dass das Komplement von

${}S={\left\{f\in R\mid D(f)\in F\right\}}\,$

ein Primideal ist. Es ist sofort ein saturiertes multiplikatives System. Es bleibt zu zeigen, dass das Komplement additiv abgeschlossen ist. Es seien dazu ${}h,g\in R$ mit ${}g+h\in S$, also ${}D(g+h)\in F$. Dann gehört erst recht

${}D(g)\cup D(h)=D(g,h)\supseteq D(g+h)\,$

zu ${}F$ und wegen der Irreduzibilität von ${}F$ ist ${}D(g)\in F$ oder ${}D(h)\in F$, woraus sich ${}g\in S$ oder ${}h\in S$ ergibt.

Diese drei Zuordnungen hintereinandergenommen führen dabei immer wieder zum Ausgangsobjekt zurück. Dazu muss man lediglich beachten, dass ein irreduzibler Zariski-Filter durch offene Mengen der Form ${}D(f)$ erzeugt wird, siehe Aufgabe 16.1. Der Zusatz ist ein Spezialfall von Aufgabe 15.10.

$\Box$

Den zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge gehörenden Filter nennen wir auch den zugehörigen generischen Filter zu ${}Y$ und den Halm davon den generischen Halm zu ${}Y$. Ein Spezialfall der Korrespondenz von Fakt ***** ist die Beziehung zwischen minimalen Primidealen, irreduziblen Komponenten und Ultrafiltern. Auf der anderen Seite hat man die Korrespondenz zwischen maximalen Idealen, Punkten und Umgebungsfiltern.

Morphismen zwischen Varietäten

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiaffine Varietäten und sei

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${}{\psi }$ einen Morphismus (von quasiaffinen Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

$f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.

Bemerkung  

Ein Morphismus

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

induziert also nach Definition zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ einen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}),$

Insbesondere gibt es einen globalen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (Y,{\mathcal {O}}).$

Sind ${}U_{1}\subseteq U_{2}$ offene Teilmengen in ${}Y$, so liegt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen vor (wobei die senkrechten Pfeile offene Inklusionen sind)

${\begin{matrix}{\psi }^{-1}(U_{1})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\psi }^{-1}(U_{2})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{2}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

das wiederum zu dem kommutativen Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{1}),{\mathcal {O}})&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})&\\\uparrow &&\uparrow &\\\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{2}),{\mathcal {O}})&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Ringhomomorphismen führt.

Wir fassen einige einfache Eigenschaften von Morphismen zusammen

Proposition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und seien ${}U,X,Y,Z$ quasiaffine Varietäten. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Eine offene Einbettung ${}U\subseteq X$ ist ein Morphismus.
2. Sind ${}{\theta }:Z\rightarrow Y$ und ${}{\psi }:Y\rightarrow X$ Morphismen, so ist auch die Verknüpfung ${}{\psi }\circ {\theta }$ ein Morphismus.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Wichtiger sind die folgenden Eigenschaften.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen ${}K$- Spektren ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$.

Dann ist die durch einen ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$

ein Morphismus.

Beweis

Wir wissen bereits nach Satz 12.7, dass

$Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

eine stetige Abbildung ist. Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge und ${}V=(\varphi ^{*})^{-1}(U)$ das Urbild. Es sei ${}f:U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion mit der Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi ^{*}:V\rightarrow K$. Wir haben zu zeigen, dass diese Abbildung ebenfalls algebraisch ist. Es sei dazu ${}P\in V$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${}Q=\varphi ^{*}(P)$. Es sei ${}Q\in D(H)\subseteq U$ und ${}f=G/H$ auf ${}D(H)$ mit ${}G,H\in R$. Es ist

$P\in (\varphi ^{*})^{-1}(D(H))=D(\varphi (H)).$

Wir behaupten, dass auf ${}D(\varphi (H))$ die Gleichheit ${}f\circ \varphi ^{*}={\frac {\varphi (G)}{\varphi (H)}}$ gilt. Dies folgt für ${}{\tilde {P}}\in D(\varphi (H))$ aus

${}f\circ \varphi ^{*}({\tilde {P}})=f(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))={\frac {G(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}{H(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}}={\frac {(\varphi (G))({\tilde {P}})}{(\varphi (H))({\tilde {P}})}}\,.$

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Satz 16.6 ist der zu ${}U=D(f)$ gehörende Ringhomomorphismus die natürliche Abbildung

$\Gamma (D(f),{\mathcal {O}})\cong R_{f}\longrightarrow \Gamma ((\varphi ^{*})^{-1}(D(f)),{\mathcal {O}})=\Gamma (D(\varphi (f)),{\mathcal {O}})=S_{\varphi (f)}.$

Lemma

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine algebraische Funktion.

Dann definiert ${}f$ einen Morphismus

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong K.$

Beweis

Sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}V=D(s)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine offene Teilmenge und ${}W=f^{-1}(V)\subseteq U$ das Urbild davon. Sei

${}q={\frac {r}{s^{n}}}\in \Gamma (V,{\mathcal {O}})=K[T]_{s}\,$

eine algebraische Funktion auf ${}V$. Wir müssen zeigen, dass die Verknüpfung ${}q\circ f$ eine algebraische Funkion auf ${}W$ ist. Es sei dazu ${}P\in W$ und sei ${}f=G/H$ eine Beschreibung der nach Voraussetzung algebraischen Funktion ${}f$ in der Umgebung ${}D(H)\ni P$. Dann ist

${}(q\circ f)(P)=q(f(P))={\frac {r}{s^{n}}}{\left({\frac {G}{H}}(P)\right)}={\frac {r(G(P)/H(P))}{(s(G(P)/H(P)))^{n}}}\,.$

Dabei ist der Nenner ${}(s(G(P)/H(P)))^{n}$ nicht ${}0$, da ${}f(P)\in D(s)$ ist, sodass dies eine rationale Darstellung ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, und zwar sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ sei.

Dann gibt es eine natürliche Bijektion

$\operatorname {Mor} \,(U,{\mathbb {A} }_{K}^{1})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,{\psi }\longmapsto {\tilde {\psi }}(T),$

wobei ${}T$ die Variable in ${}K[T]=\Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})$ bezeichnet.

Insbesondere sind Morphismen von ${}U$ in die affine Gerade durch den globalen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})=K[T]\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}})$

eindeutig bestimmt.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert und surjektiv. Ist nämlich eine globale algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gegeben, so ist zunächst ${}f\colon U\rightarrow K$. Die Variable ${}T$, die auf ${}K={\mathbb {A} }_{K}^{1}$ der identischen Abbildung entspricht, wird unter (der Verknüpfung mit) ${}f$ auf das Element ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ abgebildet. Nach Lemma 16.8 ist ${}f$ ein Morphismus.

Die Injektivität ergibt sich, da sowohl der Morphismus als auch die algebraische Funktion durch die zugrunde liegende stetige Abbildung eindeutig festgelegt sind.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät, und zwar sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossener Körper ${}K$ sei. Es sei ${}S$ eine weitere kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ.

Dann gibt es eine natürliche Bijektion

$\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)},\,{\psi }\longmapsto {\tilde {\psi }},$

wobei ${}{\tilde {\psi }}$ den zu ${}{\psi }$ gehörigen globalen Ringhomomorphismus bezeichnet.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus Satz 16.9 folgt, dass die Aussage für ${}S=K[T]$ richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring ${}K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ richtig ist, da ein Morphismus nach ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch seine Komponenten und ein ${}K$-Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für ${}T_{i}$ gegeben ist. Es sei nun ${}S=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\cong V({\mathfrak {a}})=V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Zu einem Morphismus ${}U\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Mor} \,(U,{{\mathbb {A} }_{K}^{n}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[T_{1},\ldots ,T_{n}],\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.

Ein Morphismus ${}U\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, der (als Abbildung) durch ${}V$ faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach ${}V$. Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form ${}D(H)$ zu überprüfen, ${}H\in S$. Es sei ${}{\tilde {H}}\in K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ ein Repräsentant für ${}H$. Dann ist ${}K[T_{1},\ldots ,T_{n}]_{\tilde {H}}\rightarrow S_{H}$ surjektiv und damit wird jedes Element aus ${}S_{H}$ auf eine algebraische Funktion abgebildet.

Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus Aufgabe 16.14.

$\Box$

Nicht jede außerhalb der Gerade auf dem Kegel definierte Funktion lässt sich auf den affinen Raum ohne die Gerade fortsetzen.

Beispiel

Wir betrachten den Standardkegel, der als abgeschlossene Teilmenge

${}V=V(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$

gegeben sei. Es sei ${}U=D(X,Z-Y)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die offene Teilmenge mit dem Durchschnitt ${}V\cap U=D(X,Z-Y)$ (in ${}V$), der eine offene Menge in ${}V$ ist. Wir behaupten, dass der zugehörige Ringhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U\cap V,{\mathcal {O}})$

nicht surjektiv ist. Das liegt daran, dass links einfach der Polynomring in drei Variablen steht (vergleiche Aufgabe 14.2). Dagegen ergibt sich aus der Gleichung

${}X^{2}=Z^{2}-Y^{2}=(Z-Y)(Z+Y)\,,$

dass es auf ${}U\cap V$ die algebraische Funktion

${}{\frac {X}{Z-Y}}={\frac {Z+Y}{X}}\,$

gibt, die nicht im Bild der Abbildung liegt, da es keine Funktion auf dem ganzen Kegel ist.

Die Fasern einer Abbildung (${}M$ ist der Zielbereich, der Definitionsbereich ist die Vereinigung aller Fasern; die Abbildung geht von oben nach unten).

Definition

Zu einem Morphismus ${}{\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen affinen Varietäten bezeichnet man zu einem Punkt ${}P\in X$ das Urbild

${}{\psi }^{-1}(P)\subseteq Y\,$

als die Faser über ${}P$. Als abgeschlossene Menge von ${}Y$ ist sie selbst eine affine Varietät.

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