Kurs:Analysis/Teil I/25/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	2	5	4	2	8	1	5	7	3	5	6	3	2	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Das Bild von ${}F$ ist die Menge

   ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$

2. Unter der Fakultät von ${}n$ versteht man die Zahl

   ${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$

3. Die Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   gibt.

4. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}a$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x$ mit ${}\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
5. Das Polynom

   $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

   heißt das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

6. Das Treppenintegral von ${}t$ ist durch

   $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

   definiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es gebe eine konvergente Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ von reellen Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$. Dann ist die Reihe

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   absolut konvergent.
2. Die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ${}a$ konvergiert, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(a)$ konvergiert.
3. Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$. Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$. Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$, ${}i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$, ${}j\in J$, summierbar ist mit

   ${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für ${}n\geq 1$.

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Lösung

Beim Induktionsanfang ist ${}n=1$, daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der ${}1$, und daher ist die Summe ${}1$. Die rechte Seite ist ${}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1$, sodass die Formel für ${}n=1$ stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein ${}n\geq 1$ gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für ${}n+1$ gilt. Dabei ist ${}n$ beliebig. Es ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+n+1\\&={\frac {n(n+1)}{2}}+n+1\\&={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}\\&={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}.\end{aligned}}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für ${}n+1$, also ist die Formel bewiesen.

Aufgabe (2 Punkte)

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Lösung

1. Leere Mulde auf dem Straßenplatz ${}A$ abladen.
2. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
3. Volle Mulde auf dem Straßenplatz ${}B$ abladen.
4. Leere Mulde auf Fahrzeug hochladen.
5. Leere Mulde auf den Garagenvorplatz abladen.
6. Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.

Es sind also sechs Ladevorgänge nötig.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Lösung

Wenn ${}x\geq y$ ist, so folgt daraus durch Multiplikation mit ${}y\geq 0$ die Abschätzung

${}xy\geq y^{2}\,$

und durch Multiplikation mit ${}x\geq 0$ auch

${}x^{2}\geq xy\,,$

woraus sich insgesamt

${}x^{2}\geq y^{2}\,$

ergibt.

Es sei nun

${}x^{2}\geq y^{2}\,$

vorausgesetzt. Wenn

${}x<y\,$

gelten würde, so würde sich mit der Hinrichtung direkt

${}y^{2}\geq x^{2}\,$

ergeben, also insgesamt

${}x^{2}=y^{2}\,.$

Wegen ${}x,y\geq 0$ folgt daraus

${}x=y\,,$

ein Widerspruch.

Aufgabe (5 Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$. Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist. Für ${}n$ gerade ist

${}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n-1}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n}{2}}\right)}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}+1}},\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für ${}n$ ungerade ist

${}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n+1}{2}}-{\left(n+1\right)}}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {n+1}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}-1}},\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen (gerade bzw. ungerade Glieder) konvergieren gegen ${}1$ und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen ${}1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte ${}x,y$, ${}x\neq y$, gibt. Dann ist ${}d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten ${}\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$

und wegen der Konvergenz gegen ${}y$ gibt es ein ${}n_{0}'$ mit

$\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für ${}n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei ${}n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

${}d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Lösung

Der Grad ist ${}11$, der Leitkoeffizient ist ${}7$, der Leitterm ist ${}7X^{11}$ und der Koeffizient zu ${}X^{5}$ ist ${}0$.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Lösung

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ${}J:=f([a,b])$ ein Intervall ist.

Wir zeigen zunächst, dass ${}J$ (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass ${}J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}I$ mit ${}f(x_{n})\geq n$. Nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge. Da ${}[a,b]$ abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu ${}[a,b]$. Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Es sei nun ${}y$ das Supremum von ${}J$. Es gibt eine Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von ${}J$ gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}f(x_{n})=y_{n}$. Für diese Folge gibt es wieder nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine konvergente Teilfolge. Es sei ${}x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit ${}f(x)=y$ und daher ${}y\in J$.

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

${}r={\sqrt {2^{2}+10^{2}}}={\sqrt {104}}\,.$

Die Kreisgleichung ist somit

$(X-2)^{2}+(Y-7)^{2}=104.$

Aufgabe (5 Punkte)

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form ${}n^{k}$ mit ${}n,k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.

Lösung

Wir zeigen die etwas stärkere Aussage, dass die (größere) Familie ${}{\frac {1}{n^{k}}}$, ${}(k,n)\in \mathbb {N} _{\geq 2}\times \mathbb {N} _{\geq 2}$, summierbar ist, indem wir zeigen, dass sie nach oben beschränkt. Die Familie der Kehrwerte der echten Quadrate, also die Teilfamilie ${}{\frac {1}{n^{2}}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$, ist nach Beispiel 9.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) summierbar. Wegen ${}{\frac {1}{n^{3}}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}$ ist auch die Teilfamilie ${}{\frac {1}{n^{3}}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$, summierbar. Die übrigen Summanden unterteilen wir in ${}{\frac {1}{n^{k}}}$ mit ${}k$ gerade oder ungerade und ${}k\geq 4$. Für diese ist einerseits

${}\sum _{n\geq 2,\,k\geq 4{\text{ gerade }}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell }}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{{(n^{2})}^{\ell }}}\,$

und andererseits

${}\sum _{n\geq 2,\,k\geq 4{\text{ ungerade }}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell +1}}}\leq \sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell }}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{{(n^{2})}^{\ell }}}\,,$

wobei die rechte Seite jeweils als Teilfamilie der Familie der Kehrwerte der Quadrate summierbar ist. Die Gesamtfamilie ist als Vereinigung von vier summierbaren Familien wieder summierbar.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Lösung

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn ${}f$ wachsend ist, und ${}x\in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten

${}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,$

für jedes ${}h$ mit ${}x+h\in I$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für ${}h\rightarrow 0$, und dieser ist ${}f'(x)$.
Es sei umgekehrt die Ableitung ${}\geq 0$.    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte ${}x<x'$ in ${}I$ mit ${}f(x)>f(x')$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein ${}c$ mit ${}x<c<x'$ mit

${}f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,$

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun ${}f'(x)>0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre ${}f(x)=f(x')$ für zwei Punkte ${}x<x'$. Da ${}f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist ${}f$ auf dem Intervall ${}[x,x']$ konstant. Somit ist ${}f'=0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

${}f(x)=x^{4}+3x^{3}+x^{2}+x+1\,.$

Lösung

Es ist

${}f'(x)=4x^{3}+9x^{2}+2x+1\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x)=12x^{2}+18x+2\,.$

Zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung ziehen wir die Lösungsformel heran und erhalten die Lösungen

${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {228}}-18}{24}}={\frac {\pm {\sqrt {57}}-9}{12}}\,.$

Somit ist ${}f$ auf ${}[-\infty ,{\frac {-{\sqrt {57}}-9}{12}}]$ konvex, auf ${}[{\frac {-{\sqrt {57}}-9}{12}},{\frac {{\sqrt {57}}-9}{12}}]$ konkav und auf ${}[{\frac {{\sqrt {57}}-9}{12}},\infty ]$ wieder konvex. Die Wendepunkte sind ${}-{\sqrt {57}}-9$ und ${}{\sqrt {57}}-9$.

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Bestimme die Ableitung und die Tangente ${}t_{a}$ von ${}f$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.
2. Bestimme den Schnittpunkt einer jeden Tangenten ${}t_{a}$ mit der ${}x$-Achse in Abhängigkeit von ${}a$. Skizziere die Situation.
3. Die Parabel, die Tangente ${}t_{a}$ und die ${}x$-Achse begrenzen eine Fläche. Berechne deren Flächeninhalt in Abhängigkeit von ${}a$.

Lösung

1. Die Ableitung im Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}2a$. Dies ist die Steigung der Tangente ${}t_{a}$, die durch den Punkt ${}(a,a^{2})$ verläuft. Für die Tangentengleichung gilt

   ${}t_{a}(x)=2ax+c\,$

   und aus

   ${}t_{a}(a)=2a^{2}+c=a^{2}\,$

   folgt

   ${}t_{a}(x)=2ax-a^{2}\,.$

2. Der Ansatz

   ${}t_{a}(x)=2ax-a^{2}=0\,$

   führt auf

   ${}x={\frac {a}{2}}\,,$

   wobei bei ${}a=0$ die gesamte ${}x$-Achse die Tangente ist.

3. Aus Symmetriegründen sei ${}a\geq 0$. Der Flächeninhalt der in Frage stehenden Fläche ergibt sich, wenn man vom Flächeninhalt unterhalb des Graphen zwischen ${}0$ und ${}a$ den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken ${}({\frac {a}{2}},0),\,(a,0),\,(a,a^{2})$ abzieht. Es ist

   ${}\int _{0}^{a}x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{a}={\frac {1}{3}}a^{3}\,$

   und der Flächeninhalt des Dreiecks ist

   ${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot a^{2}={\frac {a^{3}}{4}}\,.$

   Der gefragte Flächeninhalt ist also gleich

   ${}{\frac {1}{3}}a^{3}-{\frac {1}{4}}a^{3}={\frac {1}{12}}a^{3}\,.$

   Für beliebiges (auch negatives) ${}a$ ist die Antwort ${}{\frac {1}{12}}\vert {a}\vert ^{3}$.

Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
2. Es sei ${}w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit ${}b>1$ und mit

   ${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die keine Exponentialfunktion ist.

Lösung

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt. Wir setzen

   ${}w:=\log _{a}2\,.$

   Dann ist

   ${}a^{x+w}=a^{x}\cdot a^{w}=a^{x}\cdot a^{\log _{a}2}=a^{x}\cdot 2=2a^{x}\,.$

2. Aus der Bedingung ${}b^{w}=2$ folgt

   ${}b=2^{\frac {1}{w}}\,.$

   Damit ist in der Tat

   ${}{\left(2^{\frac {1}{w}}\right)}^{x+w}=2^{\frac {x+w}{w}}=2^{{\frac {x}{w}}+1}=2^{\frac {x}{w}}\cdot 2=2\cdot {\left(2^{\frac {1}{w}}\right)}^{x}\,.$

3. Wir betrachten die Funktion

   $h\colon [0,1[\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit ${}h(x):=1+x$. Jedes ${}x\in \mathbb {R}$ liegt in einem eindeutigen halboffenen Intervall ${}x\in [n,n+1[$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Wir setzen die Funktion ${}f$ auf ganz ${}\mathbb {R}$ durch die Festlegung

   ${}f(x):=2^{n}h(x-n)\,$

   fort. Dies stimmt für ${}x\in [0,1[$ mit ${}h$ überein, da dort ${}n=0$ ist. Für ${}x\in [n,n+1[$ ist

   ${}f(x+1)=2^{n+1}h(x+1-n-1)=2\cdot 2^{n}h(x-n)=2f(x)\,.$

   Die Funktion ist stetig, was auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Intervallgrenzen wegen (der Funktionslimes ist für ${}x<n$)

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow n}\,f(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow n}\,2^{n-1}h(x-n+1)=2^{n-1}\cdot 2=2^{n}=f(n)\,$

   gilt. Die Funktion ist auch streng monoton wachsend, was ebenfalls auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Übergängen wegen der Stetigkeit gilt. Die Funktion ist keine Exponentialfunktion, da sie auf ${}[0,1[$ linear ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x\cdot \sin x.$

Lösung

Wir verwenden partielle Integration, und zwar leiten wir ${}x$ ab und ziehen für ${}\sin x$ die Stammfunktion ${}-\cos x$ heran. Somit ist

${}\int x\sin x=-x\cos x-\int -\cos x\,$

und daher ist

$-x\cos x+\sin x$

eine Stammfunktion.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t}}\,.$

Lösung

Eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{t}}$ auf ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ist ${}\ln \vert {t}\vert$, daher sind ${}ce^{\ln \vert {t}\vert }$ mit ${}c\in \mathbb {R}$ die Lösungen. Für ${}t>0$ ist dies gleich

${}ce^{\ln t}=ct\,$

und für ${}t<0$ ist

${}ce^{\ln \left(-t\right)}=c(-t)=(-c)t\,,$

das sind die gleichen Lösungen.