Kurs:Analysis/Teil I/Test 3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	4	4	2	5	2	3	2	3	2	5	1	3	3	2	4	3	4	6	2	3	63

Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$ .
Eine rationale Zahl.
Eine surjektive Abbildung
$f\colon L\longrightarrow M.$
Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ .
Ein archimedisch angeordneter Körper ${}K$ .
Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ .
Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).

Lösung

Unter der Fakultät von ${}n$ versteht man die Zahl
${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
${\frac {a}{b}},$

wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$ ) gilt.
Die Abbildung ${}f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit ${}f(x)=y$ gibt.
Die Relation ${}\preccurlyeq$ ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$ .
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$ .
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$ .
Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit
$n\geq x$
gibt.
Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon \in K$ , ${}\epsilon >0$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.
Die Konvergenz gegen ${}x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung
${}\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.
Die Menge
$\mathbb {R} ^{2}$

mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$ , mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$ .
Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ .
Der Satz über die Intervallschachtelung.
Der Satz von Bolzano-Weierstraß.

Lösung

Für ${}a,b$ in einem Körper ${}K$ gilt
${}(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$ .
Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ . Dann besteht der Durchschnitt
$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ .
Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}f\colon L\rightarrow M$ und ${}g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}U\subseteq N$ die Beziehung

{}f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,

gilt.

Lösung

Es sei ${}U\subseteq N$ fixiert. Es sei ${}x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}$ . Das bedeutet

f(x)\in g^{-1}(U)

und das bedeutet

g(f(x))\in U,

also

x\in (g\circ f)^{-1}(U).

Wenn umgekehrt

x\in (g\circ f)^{-1}(U)

ist, so bedeutet dies

g(f(x))\in U.

Also ist

f(x)\in g^{-1}(U)

und damit

x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}$ und ${}N_{1},\ldots ,N_{k}$ nichtleere Mengen und

\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N_{i}

Abbildungen für ${}i=1,\ldots ,k$ . Es sei ${}M=M_{1}\times \cdots \times M_{k}$ , ${}N=N_{1}\times \cdots \times N_{k}$ , und ${}\varphi$ die Produktabbildung, also

\varphi \colon M\longrightarrow N,\,(x_{1},\ldots ,x_{k})\longmapsto (\varphi _{1}(x_{1}),\ldots ,\varphi _{k}(x_{k})).

a) Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle ${}\varphi _{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Lösung

a) Es seien alle ${}\varphi _{i}$ surjektiv und sei ${}y=(y_{1},\ldots ,y_{k})\in N$ . Zu jedem ${}i$ gibt es ein ${}x_{i}\in M_{i}$ mit ${}\varphi (x_{i})=y_{i}$ . Daher ist ${}x=(x_{1},\ldots ,x_{k})$ ein Urbild von ${}y$ unter ${}\varphi$ .

Es sei umgekehrt ${}\varphi$ surjektiv, und sei ${}y_{i}\in N_{i}$ gegeben. Da die ${}N_{j}$ alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein ${}a_{j}\in N_{j}$ . Wir setzen

y=(a_{1},\ldots ,a_{i-1},y_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{k})\in N.

Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild ${}x\in M$ . Für die ${}i$ -te Komponente davon muss ${}\varphi _{i}(x_{i})=y_{i}$ gelten.

b) Es sei ${}M_{1}=N_{1}=\emptyset$ , sei ${}\varphi _{1}$ die leere Abbildung und seien ${}M_{2}$ und ${}N_{2}$ irgendwelche (nichtleere) Mengen und sei ${}\varphi _{2}\colon M_{2}\rightarrow N_{2}$ eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist ${}M=\emptyset \times M_{2}=\emptyset$ und ${}N=\emptyset \times N_{2}=\emptyset$ und daher ist die Produktabbildung ${}\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}$ ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle ${}\varphi _{i}$ surjektiv sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen ${}A(n)$ bewiesen, die von den natürlichen Zahlen ${}n\in \mathbb {N}$ abhängen. Man beweist zuerst die Aussage ${}A(0)$ . Ferner zeigt man, dass man für alle ${}n$ aus der Gültigkeit von ${}A(n)$ auf die Gültigkeit von ${}A(n+1)$ schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von ${}A(n)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ die Abschätzung

{}3^{n}\geq n^{3}\,

gilt.

Lösung

Für ${}n=1,2,3$ ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für ${}n\geq 4$ wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein ${}n\geq 3$ schon bewiesen ist und haben sie für ${}n+1$ zu zeigen. Dies ergibt sich aus

{}{\begin{aligned}3^{n+1}&=3\cdot 3^{n}\\&\geq 3n^{3}\\&=n^{3}+n^{3}+n^{3}\\&\geq n^{3}+3n^{2}+3n+1\\&=(n+1)^{3},\end{aligned}}

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung ${}n\geq 3$ und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y>0$ . Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn

{}x/y\geq 1\,

gilt.

Lösung

Wegen ${}y>0$ ist nach Aufgabe 4.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) auch ${}y^{-1}>0$ . Aus ${}x\geq y$ folgt daher durch Multiplikation mit ${}y^{-1}$ die Beziehung ${}xy^{-1}\geq yy^{-1}=1$ . Wenn umgekehrt ${}x/y\geq 1$ gilt, so folgt durch Multiplikation mit ${}y>0$ die Beziehung ${}x=y\cdot x/y\geq y\cdot 1=y$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?

Lösung

Das Pickelpaar und die drei übrigen einzelnen Pickel können als vier Pickelfelder betrachtet werden, die in beliebiger Reihenfolge beackert werden könnnen. Dafür gibt es ${}4!=24$ Möglichkeiten. Bei jeder dieser Reihenfolge hat man beim Pickelpaar die freie Wahlmöglichkeit, welcher zuerst drankommt. Daher gibt es insgesamt

2\cdot 24=48

Möglichkeiten.

Aufgabe (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$ , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Lösung

Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer ${}A$ ist dies (in Zentimetern)

s_{A}=40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi ,

für Fahrer ${}B$ , der ${}30$ Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies

s_{B}=30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi .

Der Quotient ist

{}{\frac {s_{A}}{s_{B}}}={\frac {40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi }{30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi }}={\frac {4\cdot 6\cdot 39}{3\cdot 7\cdot 45}}={\frac {4\cdot 2\cdot 13}{7\cdot 15}}={\frac {104}{105}}\,.

Also fährt ${}B$ schneller als ${}A$ .

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Lösung

Wir führen Induktion nach ${}n$ . Für ${}n=0$ steht einerseits ${}(a+b)^{0}=1$ und andererseits ${}a^{0}b^{0}=1$ . Es sei die Aussage bereits für ${}n$ bewiesen. Dann ist

{}{\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}+b{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto -\vert {-x}\vert .

Lösung Skizze/-Betrag-x/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Bahncard ${}25$ , mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$ , mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Lösung

Es sei ${}x$ der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

y=62+{\frac {3}{4}}x

und mit BC50 hat man die Kosten

z=255+{\frac {1}{2}}x.

Die Bedingung

x\leq 62+{\frac {3}{4}}x

führt auf

x\leq 248.

Die Bedingung

x\leq 255+{\frac {1}{2}}x

führt auf

x\leq 510.

Die Bedingung

62+{\frac {3}{4}}x\leq 255+{\frac {1}{2}}x

führt auf

{\frac {1}{4}}x\leq 255-62=193,

also

x\leq 772.

Also ist für ${}x\leq 248$ keine Bahncard die günstigste Option, für ${}248\leq x\leq 772$ ist die BC25 die günstigste Option und für ${}x\geq 772$ ist die BC50 die günstigste Option.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

0{,}3333333333\dotso

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von ${}3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ${}3x$ ?

Lösung

Die Zahl ${}x$ erfüllt die Abschätzungen

{}0{,}3333333333\leq x<0{,}3333333334\,.

Daher liegt ${}3x$ im halboffenen Intervall ${}[0{,}9999999999;1{,}0000000002[$ . Die Dezimalentwicklung von ${}3x$ beginnt also entweder mit ${}0{,}9999999999$ oder mit ${}1{,}000000000$ , wobei die folgende Ziffer ${}0$ oder ${}1$ ist. Über die weiteren Ziffern kann man keine Aussage machen.

Aufgabe (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr ${}7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie ${}7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

Lösung

Wir messen die Zeit in Minuten nach ${}7$ Uhr. Der Eintauchzeitpunkt ist eine Zahl ${}a\in [21,22[$ , der rechte Rand ist nicht möglich, da die Uhr dann schon ${}7:22$ anzeigen würde. Der zweite Moment wird durch ${}b\in [26,27[$ beschrieben. Es ist also

{}21\leq a<22\,

und

{}26\leq b<27\,,

wobei die Abschätzungen optimal sind. Die Differenz ist nach unten durch

{}b-a>26-22=4\,

beschränkt. Da diese Abschätzung optimal ist, folgt, dass das Infimum gleich ${}4$ ist und dass das Minimum nicht existiert. Die Differenz ist nach oben durch

{}b-a<27-21=6\,

beschränkt. Das Supremum ist also ${}6$ und das Maximum existiert nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$ . Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

{}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,

ist.

Lösung

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Sei ${}x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und ${}y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ . Wir setzen ${}C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$ . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ . Für diese Zahlen gilt daher

{}{\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Für ${}n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${}1/n^{3}$ ) als

{}x_{n}:={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}={\frac {3-{\frac {1}{n}}-{\frac {7}{n^{3}}}}{2+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {8}{n^{3}}}}}\,

schreiben. Folgen vom Typ ${}a/n,\,a/n^{2}$ und ${}a/n^{3}$ sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen ${}3$ und der Nenner gegen ${}2$ , sodass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen ${}3/2\in \mathbb {Q}$ konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$ , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Lösung

Es sei ${}x_{n_{i}}$ , ${}i\in \mathbb {N}$ , eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert ${}x$ . Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen ${}x$ konvergiert. Es sei dazu ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein ${}i_{0}$ derart, dass für alle ${}i\geq i_{0}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,

gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,

gilt. Daher gilt für ${}n\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ unter Verwendung eines ${}n_{i}$ mit ${}n_{i}\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {x_{n}-x_{n_{i}}+x_{n_{i}}-x}\vert \leq \vert {x_{n}-x_{n_{i}}}\vert +\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Lösung

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

{}a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist ${}I_{0}:=[a_{0},b_{0}]$ . Es sei das ${}k$ -te Intervall ${}I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{  und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall ${}I_{k+1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

{}x_{n_{k}}\in I_{k}\,

mit ${}n_{k}>n_{k-1}$ . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl ${}x$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

{}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}z&=(3-7{\mathrm {i} })(2+5{\mathrm {i} })^{-1}\\&=(3-7{\mathrm {i} }){\frac {(2-5{\mathrm {i} })}{29}}\\&={\frac {6-35-14{\mathrm {i} }-15{\mathrm {i} }}{29}}\\&={\frac {-29-29{\mathrm {i} }}{29}}\\&=-1-{\mathrm {i} }.\end{aligned}}

Der Betrag ist

{}\vert {-1-{\mathrm {i} }}\vert ={\sqrt {2}}\,.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert <1$ . Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.