- Übungsaufgaben
Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
Es sei ein reelles Intervall und
-
eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass
streng wachsend
oder streng fallend ist.
Es sei
-
eine
Polynomfunktion
vom
Grad
. Zeige, dass nicht
gleichmäßig stetig
ist.
Zeige, dass die
Funktion
-
mit
-
stetig,
aber nicht
gleichmäßig stetig
ist.
Es sei
-
eine
stetige Funktion.
Zeige, dass es eine
stetige Fortsetzung
-
von gibt.
Man gebe ein Beispiel einer
gleichmäßig stetigen Funktion
-
derart, dass keine
stetige Fortsetzung
-
existiert.
Es sei eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Funktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es sei
eine
reelle Zahl.
Zeige, dass die durch
-
definierte
Folge
gegen
konvergiert.
Führe die Details im Beweis zu
Lemma 14.9
für den Fall aus.
Es sei eine
positive
reelle Zahl.
Zeige, dass die
Exponentialfunktion
-
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
-
und Werte gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung
-
die auf jedem Teilintervall durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte und durch eine gerade Strecke verbindet.
Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion
-
approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man nimmt.
Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
-
und Werte gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.
In den folgenden Aufgaben bedeutet die Menge der stetigen Funktionen von nach (für eine Teilmenge ) und den abgeschlossenen Vollkreis in mit Mittelpunkt und Radius (die Randpunkte gehören also dazu).
- Aufgaben zum Abgeben
Wir betrachten die Abbildung
-
eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf abgebildet. Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Man gebe ein Beispiel für eine
stetige unbeschränkte
Funktion
-
Zeige, dass eine solche Funktion keine
stetige Fortsetzung
auf besitzt.
Es sei ein reelles Intervall und
-
eine Funktion. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es eine Unterteilung
-
derart, dass die lineare Interpolation
(zu dieser Unterteilung und zu )
die Eigenschaft
-
erfüllt.
(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen (gemessen in vertikaler Richtung) Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)